У математиці, розподіл Гаусса–Кузьміна — це дискретний розподіл ймовірностей, який виникає як границя розподілу ймовірностей коефіцієнтів розширення неперервного дробу рівномірно розподіленої випадкової величини на (0, 1) . Розподіл названо на честь Карла Фрідріха Гаусса, який вивів його близько 1800 року , і Родіона Кузьміна, який дав обмеження на швидкість збіжності 1929 року . Він задається функцією ймовірности:
Теорема Гаусса – Кузьміна Нехай
нескінченний дріб розширення випадкового рівномірно розподіленого на (0, 1) числа х. Тоді
Аналогічно, нехай
тоді
прямує до нуля при n, що прямує до нескінченності.
Швидкість збіжності
У 1928 році Кузьмін дав границю
У 1929 році Поль Леві її поліпшив
Пізніше, показав, що для λ=0.30366… (), границя
існує для кожного , а функція Ψ(х) є аналітичною і задовольняє Ψ(0)=Ψ(1)=0. Подальші границі були доведені К. І. Бабенком .
Див. також Стала Хінчина Константа Леві Перетворення Гаусса
Примітки