У топології, надбудовою над топологічним простором X називається топологічний простір SX, що є фактором добутку по відношенню еквівалентності :
Надбудову можна уявляти як циліндр над простором X, у якому ототожнили в точку як верхню, так і нижню межу. Також можна розглядати надбудову як об'єднання двох конусів (верхнього і нижнього) над простором X, склеєних по спільній основі.
Властивості Надбудова над простором X гомеоморфна джойну простору X і двоточкової множини («нульвимірної сфери») . Будь-яке неперервне відображення продовжується до неперервного відображення за правилом . Гомологія надбудови є тісно пов'язаною з гомологією вихідного простору, відрізняючись (за винятком нульвимірних просторів) фактично зміщенням на одну розмірність. А саме:
Приведені гомології зміщуються рівно на одну розмірність:
Якщо топологічний простір X є CW-комплексом, то SX теж є CW-комплексом. S є функтором із категорії топологічних просторів у себе.
Редукована надбудова
Редукованою (або зведеною) надбудовою топологічного простору з виділеною точкою (X, x0) називається фактор-простір по відношенню еквівалентності , де — довільні точки і — будь-яке число в інтервалі.
Редукована надбудова позначається ΣX і її можна уявити як простір SX у якому лінія {x0} × I , що сполучає верхню і нижню точки, стягується в одну точку.
Властивості Редукована надбудова простору X є гомеоморфною смеш-добутку простору X і одиничного кола S1 :
більш загально:
Перший гомеоморфізм одержується із композиції відображень , де позначає стандартне відображення із одиничного відрізка на одиничне коло (що розглядається на комплексній площині), а є проєкцією із добутку на фактор-простір Ця композиція відображень переводить усі точки у виділену точку смеш-добутку, отже задає відображення на редукованій надбудові. Це відображення є гомеоморфізмом. Загальний гомеоморфізм одержується індукцією із використанням гомеоморфізмів і асоціативності смеш-добутку, якщо лівий і середній із трьох множників є компактними і гаусдорфовими. Для багатьох важливих топологічних просторів, зокрема CW-комплексів, редукована надбудова є гомотопно еквівалентною звичайній. Σ є функтором з категорії топологічних просторів із виділеною точкою у себе. Він є спряженим зліва до функтора, що переводить топологічний простір X в його простір петель ΩX, тобто є природний ізоморфізм:
Див. також Джойн (топологія) Конус (топологія) Смеш-добуток
Література Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. and