Напівнеперервність в математичному аналізі — це властивість функції більш слабка, ніж неперервність. Функція є напівнеперервною зверху в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або меншими від значення функції в ній. Функція є напівнеперервною знизу в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або більшими значення функції в ній.
Визначення
Нехай — топологічний простір, і функція зі значеннями у множині розширених дійсних чисел.
Функція називається неперервною зверху (знизу) в точці якщо для довільного існує окіл точки такий, що якщо, і прямує до коли прямує до якщо .
У випадку метричного простору ці умови можна записати так
де позначає точну верхню границю.
Функція називається напівнеперервною зверху (знизу) на , якщо вона є напівнеперервною зверху (знизу) для всіх .
Альтернативно функція є напівнеперервною зверху (знизу) на якщо множина є відкритою. Ввівши в множині дійсних чисел топологію для топологічного простору маємо, що функція є напівнеперервною зверху, тоді і тільки тоді коли вона є неперервною в новій топології дійсних чисел: . Для подібного визначення неперервності знизу для дійсних чисел слід ввести топологію Дані означення можна узагальнити на довільну лінійно впорядковану множину з подібним визначенням топології.
Приклади
Ціла частина числа є напівнеперервною зверху функцією; Дробова частина числа напівнеперервна знизу. Функція Діріхле є напівнеперервною зверху в усіх раціональних точках і напівнеперервною знизу в ірраціональних. Функція : є напівнеперервною взверху в точці x = 0. Індикатор довільної відкритої множини є напівнеперервною знизу функцією. Індикатор довільної замкнутої множини є напівнеперервною зверху функцією. Нехай — система звичайних диференціальних рівнянь (y — вектор порядку n). Нехай функція F визначена на множині і для кожної точки існує єдиний максимальний розв'язок системи рівнянь , визначений на проміжку Числа загалом залежать від початкових умов і можна визначити функції Тоді функція є напівнеперервною зверху на множині E, а функція є напівнеперервною знизу на множині EHartman, Philip (2002), Ordinary Differential Equations, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, ст. 94-95..
Властивості Функція є неперервною тоді й лише тоді коли вона є одночасно напівнеперервною зверху і знизу. Якщо є напівнеперервною зверху, то функція -f є напівнеперервною знизу і навпаки. Нехай є дві напівнеперервні знизу (зверху) функції. Тоді їх сума також напівнеперервна знизу (зверху). Якщо напівнеперервні зверху функції є невідємними в точці то їх добуток теж буде напівнеперервним зверху. Якщо — напівнеперервні зверху функції дійсної змінної і g також неспадна, то функція є також напівнеперервною зверху. Межа монотонно зростаючої (спадної) послідовності напівнеперервних знизу (зверху) в точці функцій є напівнеперервною знизу (зверху) функцією в . Більш точно, нехай дано послідовність напівнеперервних знизу (зверху) функцій таких, що Тоді якщо існує межа то напівнеперервна знизу (зверху). Якщо і є напівнеперервні функції відповідно знизу і зверху, і на всьому просторі виконано
то існує неперервна функція , така що
Нехай дано компактну множину Тоді напівнеперервна знизу (зверху) функція досягає на свого мінімуму (максимуму). Теорема Віталі — Каратеодорі. Якщо — невід'ємні міра на , то для будь-якої -вимірної функції існують дві послідовності функцій і , що задовольняють умовам: — напівнеперервні знизу, — напівнеперервні зверху, кожна функція є обмеженою знизу, кожна функція — зверху, послідовність незростаюча, послідовність неспадна,
-майже всюди. якщо для функція є інтегровною за Лебегом на (), то також і
Див. також Одностороння границя
Примітки
Література
Перестюк М. О., Станжицький О. М., Капустян О. В., Ловейкін Ю. В. Варіаційне числення та методи оптимізації: Навч. посібник. — К., 2010. — 121 c. Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5