Функція Діріхле — функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення 1 якщо аргумент є раціональним числом і значення 0 якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:
де Q множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.
Властивості
Функція Діріхле є розривною в кожній точці своєї області визначення. Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом, проте є інтегровною за Лебегом. Функція Діріхле належить до другого класу Бера. Тобто, її не можна представити як границю послідовності неперервних функцій, але можна задати як границю границь послідовності неперервних функцій. Наприклад:
Інтеграли від функції Діріхле
Інтеграл Рімана Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття Z на області інтегрування всі проміжки розбиття містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна
а верхня сума рівна
що дорівнює довжині області інтегрування. Оскільки дані твердження виконуються для будь-якого розбиття то границя нижньої суми, при прямуванні довжини найбільшого проміжку розбиття до нуля, не рівна границі верхньої. Отже функція не є інтегровною.
Інтеграл Лебега
Функція Діріхле є простою, тобто набуває скінченної кількості значень, тому маємо рівність для інтеграла в області
,
де позначає міру Лебега.
Оскільки як підмножина раціональних чисел має міру нуль, то також весь інтеграл рівний нулю:
Див. також Функція Томе Список об'єктів, названих на честь Діріхле
Джерела