Добуток (категорний добуток) — в теорії категорій це узагальнення таких понять декартів добуток множин, прямий добуток груп і добуток топологічних просторів.
Добуток сімейства об'єктів — це найбільш загальний об'єкт, з якого який існує морфізм до кожного об'єкта сімейства. Добуток об'єктів двоїстий їхньому кодобутку, тобто визначення кодобутків можна отримати з визначення добутку обертанням усіх стрілок.
Визначення Якщо та — об'єкти категорії , тоді об'єкт є добутком та , позначається , якщо він задовільняє універсальну властивість: існують морфізми , такі, що для кожного об'єкта та пари морфізмів , існує єдиний морфізм такий, що наступна діаграма є комутативною:
Єдиний морфізм називається добутком морфізмів та і позначається . Морфізми та називаються канонічними проєкціями чи морфізмами проєкції.
Добуток більше ніж двох об'єктів визначається для сімейства об'єктів, яке індексоване множиною .
Об'єкт є добутком сімейства об'єктів якщо існують морфізми , такі, що для кожного об'єкта та -індексованого сімейства морфізмів існує єдиний морфізм такий, що наступна діаграма є комутативною для всіх :
Приклади
У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин , а пряма сума — диз'юнктне об'єднання . У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток , а прямий добуток — сума кілець . У категорії VectK прямий добуток і пряма сума ізоморфні — це сума векторних просторів .
Властивості …
Дистрибутивність В категорії із скінченними добутками та кодобутками існує канонічний морфізм X×Y+X×Z → X×(Y+Z), тут знак плюс означає кодобуток. Це випливає із існування канонічних проєкцій і вкладень та з комутативності наступної діаграми:
Властивість універсальності для X×(Y+Z) гарантує єдиність морфізму X×Y+X×Z → X×(Y+Z). Категорія називається дистрибутивною, якщо у ній цей морфізм є ізоморфізмом.
Див. також Категорія добутку
Література С. Маклейн Категории для работающего математика, — : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4. И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — : Мир, 1972.