Оператор сліду — розширення поняття звуження функції на границю області для класичних функцій на випадок класів функцій із просторів Соболєва.
Якщо — область в евклідовому просторі і функція , то приймає значення на границі , яке позначається . Виникає питання: чи можна визначити коректно значення на границі для довільної функції (така функція не є неперервною та визначається з точністю до міри нуль, а міра Лебега множини дорівнює нулю).
Теорема Нехай — обмежена область і є . Тоді існує такий лінійний оператор , що: 1), якщо ; 2).
Означення Оператор визначений у теоремі, називається оператором сліду, а — слідом функції на границі .
Доведення 1. Припустимо спочатку, що і границя області є плоскою в деякому околі точки , тобто існує таке число , що .
Позначимо
Виберемо функцію таку, що на і на . Позначимо i . Застосовуючи нерівність Юнга, виводимо (*)
2. Якщо межа не є плоскою в околі точки , то розпрямляючи межу за допомогою вектор-відображення i застосувавши (*) виводимо нерівність
де .
3.Оскільки — компакт, то існує скінченне число точок і відкритих множин , які містять і
та . Підсумовуючи останні нерівності за отримаємо нерівність
Для довільної функції визначимо оператор . Очевидно, що він є лінійним і
(**)
4. Тепер розглянемо довільну функцію . Існує послідовність така, що
в при
Для кожної функції визначена функція і має місце нерівність (**). Тоді
.
Отже, — фундаментальна послідовність у . Границею цієї послідовності позначимо через , тобто . Очевидно, що дана границя не залежить від вибору апроксимуючої послідовності. Перейшовши до границі в нерівності
при , отримаємо .
Див. також Звуження функції Простір Соболєва
Література Мельник Т.А, Креневич А.П. Теорія просторів Соболєва та узагальнені розв’язки крайових задач: підручник – К.: ВПЦ "Київський Університет", 2017.