Простір Соболєва — функціональний простір, що складається з функцій із простору Лебега (), які мають слабкі похідні заданого порядку з . При простори Соболєва є банаховими просторами, а при  — гільбертовими просторами. Для гільбертових просторів Соболєва також прийнято позначення .

Для області норма у просторі Соболєва порядку та підсумованих зі степенем вводиться за такою формою:

а при норма виглядає так:

де  — це мультиіндекс, а операція є слабка похідна по мультиіндексу.

Простори Соболєва були введені радянським математиком Сергієм Львовичем Соболєвим та потім названі у його честь.

Вступ та історія питання Ідея про узагальнення розв'язків диференціальних рівнянь з частинними похідними починає проникати в математичну фізику в 20-х роках XX ст. З одного боку, необхідність в розширенні класів функцій виникає в багатовимірних варіаційних задачах, а з іншого, — при дослідженні хвильового рівняння і рівнянь гідродинаміки. В цих задачах класи неперервних функцій були недостатніми.

В роботі Friedrichs K.O. Math. Ann. v. 109 (1934), 465–487. при дослідженні мінімуму квадратичного функціоналу були введені класи функцій, які збігаються з просторами Соболєва  — просторами Соболєва першого порядку, які мають нульовий слід на границі області. Проте в цих роботах (так званих прямих варіаційних задачах) ще не було розуміння того, що простори Соболєва другого порядку є класом коректності для еліптичних крайових задач, відповідним варіаційним задачам. В 1936 році в основоположній роботі СоболєваS. Soboleff, «Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales», Матем. сб., 1(43):1 (1936), 39-72 вводяться узагальнені розв'язки основних видів лінійних рівнянь з частинними похідними другого порядку (хвильове рівняння, рівняння Лапласа і рівняння теплопровідності) з класів функцій, які потім були названі просторами Соболєва. В цих роботах узагальнені розв'язки розуміються як ліміти класичних рівнянь, до того ж ліміти розглядаються в класах інтегровних функцій. Таке розширення понять дає змогу досліджувати задачі з доволі загальними правими частинами і коефіцієнтами рівнянь.

У 1930-х роках починається всестороннє дослідження просторів Соболєва. Найбільш важливими були роботи про компактність вкладання (теорема Реліха — Гордінга) і теореми про вкладання (теореми Соболєва і Соболєва — Кондрашова). Ці теореми дали змогу побудувати узагальнені розв'язки для багатьох задач математичної фізики, а також встановити зв'язок з класами неперервних функцій.

У 1940-х роках Ладиженською було запропоновано визначати узагальнені розв'язки за допомогою інтегральних тотожностей для функцій з просторів Соболєва. Використання інтегральних тотожностей виявилося дуже зручним для дослідження гладкості розв'язків рівнянь з частинними похідними. У наш час визначення узагальнених рішень через інтегральні тотожності є стандартним методом постанови задач.

Простори Соболєва мають принципове значення не лише у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, але ще і в варіаційних задачах, теорії функцій, теорії наближень, методах обчислення, теорії керування та багатьох інших розділах аналізу і його додатків.

Властивості просторів Соболєва Для будь-якої області з випливає, що . Якщо і , то . Якщо фінітна в , то продовження цієї функції нулем належить для будь-якої . Нехай є гладке і взаємно однозначне відображення області на область і , тоді функція належить простору . Простори Соболєва є сепарабельними просторами. Якщо межа області задовольняє умові Ліпшица, то множина щільна в . Нехай , де  — обмежена область в , зіркова відносно деякого шару. Якщо , то їх поточковий добуток , визначений майже усюди в , належить простору , більш того, існує додатна константа , яка залежить лише від така, що , іншими словами, є комутативною банаховую алгеброю, добуток в котрій узгоджений з нормою . Простори при є рефлексивними просторами. Простори є гільбертовими просторами.

Простори Соболєва В крайових задачах для диференціальних рівнянь в часткових похідних важливу роль грають простори функцій із простора Соболєва, які мають нульові граничні умови. Ці простори позначаються через і вводяться як замикання множини по нормі простору , де є множина фінітних в нескінченно диференційованих функцій.

Простори є замкнутими підпросторами в . За наявністю визначеної гладкості границі області цей простір збігається з множиною функцій із , які мають нульовий слід на межі області и нульовий слід усіх узагальнених похідних аж до -го порядку.

Простори Соболєва в усьому просторі Простори Соболєва можна визначити за допомогою перетворення Фур'є. Для будь-якої функції визначено перетворення Фур'є , при цьому, . Простір Соболєва визначається таким чином: .

Простори Соболєва на торі Нехай  — -мірний тор. Простір Соболєва на торі , тобто -періодичних за всіма змінними функцій, можна визначити за допомогою багатовимірних рядів Фур'є: .

Простори Соболєва дробового порядку Для того щоб не було плутанини, нецілочисельне k будемо позначати як s, тобто або .

У випадку 0<s<1 простір складається з функцій , таких, що

Для нецілого s>1 покладемо , де  — ціла частина s. Тоді складається з елементів таких, що для з нормою

Простори Соболєва від'ємного порядку При розгляді узагальнених рішень диференціальних рівнянь з частинними похідними природним чином виникає простори Соболєва від'ємного порядку. Простір визначається за формулою:

де штрих означає сполучений простір. При цьому отримаємо, що простори Соболєва від'ємного порядку представляють собою простір узагальнених функцій. Так, наприклад, простір містить -функцію Дірака.

Теореми вкладання Припускаючи, що межа області задовольняє достатнім умовам гладкості, мають місце такі теореми вкладання.

Теорема вкладання Соболєва Якщо , то має місце неперервне вкладення .

Тут є цілим і невід'ємним, а може бути і дробовим (простори Соболєва дробового порядку). Ця теорема відіграє важливу роль у теорії функціональних просторів і диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Теорема Реліха — Кондрашова Нехай область обмежена, , і , тоді: вкладання цілком неперервно.

За допомогою теорем про компактність вкладання просторів Соболєва доводяться чимало теорем існування диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Показові приклади Простори Соболєва мають істотні відміни від просторів неперервно диференційованих функцій.

Приклад розривної функції Нехай  — коло на площині. Функція належить простору , але має розрив другого роду в точці .

Простори Соболєва в одномірному випадку Функції з простору є неперервними. Для будь-яких двох функцій з простору добуток цих функцій також належить . Тому простір Соболєва першого порядку на відрізку є банаховою алгеброю.

Див. також Теорема Трудінгера

Примітки

Література

Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988 Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976