Функція фон Мангольдта — арифметична функція, що визначається рівністю:
де p — просте число. Тобто значення функції є ненульовим лише для степенів простих чисел де значення функції рівне логарифму з відповідного простого числа.
Властивості
Функція фон Мангольдта задовольняє властивості:
де — функція Мебіуса.
де сума береться по всіх дільниках d числа n.
exp(Λ(n)) можна явно визначити:
де позначає найменше спільне кратне.
Значення exp(Λ(n)) для перших натуральних чисел рівне: 1, 2, 3, 2, 5, 1, 7, 2, 3, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 2, 17, 1, 19, 1, 1, 1, ... ()
Функція фон Мангольдта тісно пов'язана з дзета-функцією Рімана 'Q(s). Зокрема виконується рівність:
для .
Тоді логарифмічна похідна рівна:
Посилання
Джерела Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 G.H. Hardy and J.E. Littlewood, Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41(1916)pp.119-196