Метод Сімпсона є одним із методів чисельного інтегрування. Названий на честь британського математика Томаса Сімпсона (1710—1761).
Формула
Формулою Сімпсона називається інтеграл від інтерполяційного многочлена другого степеня на відрізку :
де , і — значення функції у відповідних точках .
Похибка
При умові, що функція на відрізку має похідну четвертого порядку, похибка , дорівнює:
Зважаючи, що значення переважно не є відомим, для оцінки похибки використовується нерівність:
Виведення формули Формула Сімпсона може бути виведена за допомогою багатьох різних способів.
Квадратична інтерполяція Якщо замінити функцію квадратичним поліномом що приймає ті ж значення що й у точках a,b і m = (a+b) / 2. використавши інтерполяційну формулу Лагранжа, то одержимо формулу:
Після необхідних обчислень одержуємо:
Використання методів прямокутників і трапецій
У цьому способі виведення використовуються метод прямокутників:
і метод трапецій:
Похибки цих наближень дорівнюють і відповідно. Звідси випливає, що аби позбутися третього степеня слід взяти для наближення величину
Однак таким чином одержується формула Сімпсона.
Метод невизначених коефіцієнтів
Запишемо в загальному виді:
Коефіцієнти α, β і γ можуть бути знайдені з вимоги, що дане наближення є точним для всіх многочленів другого степеня. Таким чином знову ж одержується метод Сімпсона.
Ітераційна формула
Для точнішого обчислення інтеграла проміжок розбивають на відрізків однакової довжини і застосовують формулу Сімпсона на кожному з них. Значення інтеграла є сумою для всіх відрізків.
де величина кроку, а межі відрізків.
Загальну похибку при інтегруванні на відрізку з кроком визначають за формулою:
. При неможливості оцінити похибку за допомогою четвертої похідної можна використати слабшу оцінку:
.
Приклади реалізації
Реалізація на C#:
using System;
namespace NumericIntgeration { internal class Program
private delegate double Func(double x);
private static void Main()
const int n = 10000; double result = SimpsonMethod(0.0, 2.0, n, x => x * Math.Exp(Math.Sqrt(x))); Console.WriteLine("x = {0}", result);
Console.ReadKey();
private static double SimpsonMethod(double a, double b, int n, Func func)
double h = (b - a) / n; double s = (func(a) + func(b)) * 0.5; for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
double xk = a + h * i; //xk double xk1 = a + h * (i - 1); //Xk-1 s += func(xk) + 2 * func((xk1 + xk) / 2);
var x = a + h * n; //xk var x1 = a + h * (n - 1); //Xk-1 s += 2 * func((x1 + x) / 2);
return s * h / 3.0;
Див. також Квадратури Гауса
Джерела