Квазігрупа — алгебрична структура в абстрактній алгебрі, що подібна до групи тим, що в ній завжди можливе ділення (інших властивостей групи квазігрупа немає).

Квазігрупа з одиницею називається лупа ( — «петля»).

Визначення Є два еквівалентні визначення:

Квазігрупа (Q, *) — це множина Q з бінарною операцією * : Q × Q → Q (тобто магма), такою що для довільних a, b ∈ Q існують і єдині x, y ∈ Q, що: a * x = b, y * a = b.

Розв'язки цих рівнянь записують так: x = a \ b, y = b / a.

Операції \ та / називають лівим та правим діленням. Якщо визначена тільки одна з операцій, то таку структуру називають ліва чи права квазігрупа, відповідно.

Квазігрупа (Q, *, \, /) — універсальна алгебра сигнатури (2,2,2), що задовільняє тотожності: y = x * (x \ y), y = x \ (x * y), y = (y / x) * x, y = (y * x) / x.

Якщо (Q, *) є квазігрупою за першим визначенням, тоді (Q, *, \, /) є еквівалентною квазігрупою в розумінні універсальної алгебри.

Лупа — квазігрупа з одиничним елементом e, тобто, таким що: x*e = x = e*x .

Приклади Група є частковим випадком квазігрупи, а саме — асоціативною квазігрупою з одиницею. Цілі числа з операцією віднімання (−) є квазігрупою. Ненульові раціональні числа (чи дійсні числа ) з операцією ділення (÷) є квазігрупою. Раціональні числа (чи дійсні числа ) з операцією x * y = (x + y) / 2 (середнє арифметичне) є ідемпотентною, комутативною квазігрупою. Множина {±1, ±i, ±j, ±k} де ii = jj = kk = +1 та всі інші добутки визначені як в кватерніонах, є лупою. Октави є неасоціативною лупою по множенню.

Властивості

Латинські квадрати Таблиця множення скінченної квазігрупи утворює латинський квадрат. І навпаки, довільний латинський квадрат може бути вибраний за таблицю множення, щоб утворити квазігрупу.

Властивість скорочення Ліва квазігрупа є скорочуваною зліва якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ab = ac) слідує (b = c). Права квазігрупа є скорочуваною справа якщо ∀a, b,c ∈ Q: з (ba = ca) слідує (b = c). Квазігрупа є скорочуваною зліва та справа. Кажуть — має властивість скорочення.

Властивість обернення Одиничний елемент лупи є єдиним, тому для кожного елемента лупи існує єдиний лівий та правий обернений елемент: a L = e / a,      a L a = e, a R = a \ e,      a a R = e. Примітка: використали праве та ліве ділення. Лупа має обернення зліва якщо задовільняє тотожність xL (xy)=y, чи еквівалентну x\y=xL y. Лупа має обернення справа якщо задовільняє тотожність (yx)xR=y, чи еквівалентну y/x=y xR. Лупа має антиафтоморфне обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L = yL xL, чи еквівалентну (xy)R = yR xR. Лупа має слабе обернення якщо задовільняє тотожність (xy)L x=yL, чи еквівалентну x(yx)R=yR. Якщо лупа задовільняє дві з вищеперечислених властивостей, то вона задовільняє всі чотири властивості і кажуть — має властивість обернення. І тоді xL = xR для всіх елементів.

Морфізми Гомоморфізм квазігруп чи луп це відображення f: Q → P таке що f(xy) = f(x)f(y). Воно зберігає ліве та праве ділення а також одиницю (якщо існує).

Гомотопія та ізотопія Гомотопія квазігруп з Q в P є трійка (α, β, γ) відображень з Q в P такі, що

Гомоморфізм квазігруп є гомотопією, де всі відображення збігаються. Ізотопія це гомотопія, в якій всі три відображення (α, β, γ) є бієктивними. Автотопія — це ізотопія квазігрупи в себе. Довільна квазігрупа ізотопна лупі. Якщо лупа ізотопна групі, тоді вона є групою. Хоча, квазігрупа, що ізотопна групі, може не бути групою.

Література

В.Д. Белоусов. Основы теории квазигрупп и луп. — Москва : Наука, 1967.