У математичній динаміці дискретний час і неперервний час — це два альтернативні підходи, в рамках яких моделюються змінні, що змінюються з часом.

Дискретний час

Дискретний час розглядає значення змінних як такі, що виникають у різних, окремих «моментах часу», або, що еквівалентно, як незмінні впродовж кожної ненульової області часу («часового періоду») — тобто час розглядається як дискретна змінна. Таким чином, не-часова змінна стрибає від одного значення до іншого, коли час переходить від одного часового періоду до наступного. Цей погляд на час відповідає цифровому годиннику, який протягом деякого часу показує фіксоване значення 10:37, а потім стрибає до нового фіксованого значення 10:38 і так далі. У цій системі кожна досліджувана змінна вимірюється один раз за кожен часовий період. Кількість вимірювань між будь-якими двома часовими періодами є скінченною. Вимірювання зазвичай виконуються при послідовних цілих значеннях змінної «час».

Дискретний сигнал або дискретно-часовий сигнал — це часовий ряд, що складається з послідовності величин.

На відміну від неперервного в часі сигналу, дискретно-часовий сигнал не є функцією неперервного аргументу; однак він міг бути отриманий шляхом дискретизації з неперервного сигналу. Коли дискретно-часовий сигнал отримують шляхом вибірки послідовності через рівномірні проміжки часу, він має пов'язану частоту дискретизації.

Дискретно-часові сигнали можуть мати кілька джерел, але зазвичай їх можна віднести до однієї з двох груп:"Digital Signal Processing", Prentice Hall, pp. 11–12

Шляхом отримання значень аналогового сигналу з постійною або змінною частотою. Цей процес називається дискретизацією."Digital Signal Processing: Instant access", Butterworth-Heinemann, p. 8

Шляхом спостереження за суттєво дискретно-часовим процесом, наприклад, щотижневе пікове значення певного економічного показника.

Неперервний час На відміну від дискретного, неперервний час розглядає змінні як такі, що мають певне значення лише протягом нескінченно малого проміжку часу. Між будь-якими двома моментами часу існує нескінченна кількість інших точок у часі. Змінна «час» пробігає всю числову пряму або, залежно від контексту, деяку її підмножину, наприклад, невід’ємні дійсні числа. Таким чином, час розглядають як неперервну змінну.

Неперервний сигнал або неперервно-часовий сигнал — це змінна величина (сигнал), область визначення якої (зазвичай час) є континуумом (наприклад, зв’язним інтервалом дійсних чисел). Тобто область визначення функції є незліченною множиною. Сама функція не обов’язково має бути неперервною. Для порівняння, дискретно-часовий сигнал має зліченну область визначення, наприклад, Натуральні числа.

Сигнал із неперервною амплітудою та неперервним часом називають неперервним сигналом або аналоговим сигналом. Такий сигнал має певне значення в кожну мить часу. Електричні сигнали, отримані пропорційно до фізичних величин, таких як температура, тиск, звук тощо, зазвичай є неперервними сигналами. Іншими прикладами неперервних сигналів є синусоїда, косинусоїда, трикутний сигнал тощо.

Сигнал визначається на деякій області, яка може бути скінченною або нескінченною, і існує функціональне відображення з цієї області на значення сигналу. Неперервність змінної часу разом із властивістю щільності дійсних чисел означає, що значення сигналу можна знайти в будь-якій довільній точці часу.

Типовий приклад сигналу нескінченної тривалості:

Скінченно-тривалий варіант цього сигналу може мати вигляд: і в інших випадках.

Значення сигналу скінченної (або нескінченної) тривалості може бути як скінченним, так і нескінченним. Наприклад, і в інших випадках, є сигналом скінченної тривалості, але він набуває нескінченного значення при .

У багатьох дисциплінах прийнято, що неперервний сигнал завжди повинен мати скінченне значення, що є більш осмисленим для фізичних сигналів.

Для деяких цілей нескінченні особливості є прийнятними, якщо сигнал інтегровний на будь-якому скінченному інтервалі (наприклад, сигнал не інтегровний на нескінченності, але — інтегровний).

Будь-який аналоговий сигнал за своєю природою є неперервним. Дискретно-часові сигнали, що використовуються в цифровій обробці сигналів, можна отримати шляхом дискретизації та квантування неперервних сигналів.

Неперервний сигнал також може бути визначений відносно іншої незалежної змінної, відмінної від часу. Іншою дуже поширеною незалежною змінною є простір, що особливо корисно в обробці зображень, де використовуються два просторові виміри.

Відповідні контексти Дискретний час часто застосовують тоді, коли йдеться про емпіричні вимірювання, оскільки зазвичай можна вимірювати змінні лише послідовно. Наприклад, хоча економічна діяльність насправді відбувається неперервно (не існує моменту, коли економіка повністю перебуває в паузі), виміряти економічну активність можна лише дискретно. Тому опубліковані дані, скажімо, про валовий внутрішній продукт показуватимуть послідовність квартальних значень.

Коли намагаються емпірично пояснити такі змінні через інші змінні та/або їхні власні попередні значення, використовують часові ряди або регресійний аналіз, у яких змінні індексуються нижнім індексом, що вказує на часовий період, у якому відбулося спостереження. Наприклад, yt може позначати значення доходу, отримане в невизначений часовий період t, y3 — значення доходу, отримане в третьому часовому періоді тощо.

Більше того, коли дослідник намагається розробити теорію для пояснення того, що спостерігається в дискретному часі, часто сама теорія формулюється в дискретному часі, щоб полегшити побудову моделі часового ряду або регресійної моделі.

З іншого боку, часто математично зручніше будувати теоретичні моделі в неперервному часі, і в таких галузях, як фізика, точний опис вимагає використання неперервного часу. У контексті неперервного часу значення змінної y у невизначений момент часу позначається як y(t) або, якщо сенс зрозумілий, просто як y.

Типи рівнянь

Дискретний час Дискретний час використовує різницеві рівняння, також відомі як рекурентні співвідношення. Прикладом, відомим як логістичне відображення або логістичне рівняння, є

де r — параметр у діапазоні від 2 до 4 включно, а x — змінна в діапазоні від 0 до 1 включно, значення якої в період t нелінійно впливає на її значення в наступному періоді, t + 1. Наприклад, якщо і , то для t = 1 маємо , а для t = 2 маємо .

Інший приклад моделює коригування ціни P у відповідь на ненульовий надлишковий попит на продукт як

де — додатний параметр швидкості коригування, який менший або дорівнює 1, а — функція надлишкового попиту.

Неперервний час Неперервний час використовує диференціальні рівняння. Наприклад, коригування ціни P у відповідь на ненульовий надлишковий попит на продукт можна змоделювати в неперервному часі як

де ліва частина — це перша похідна ціни за часом (тобто швидкість зміни ціни), — параметр швидкості коригування, який може бути будь-яким додатним скінченним числом, а — знову функція надлишкового попиту.

Графічне зображення Змінну, виміряну в дискретному часі, можна зобразити у вигляді ступінчастої функції, де кожному періоду часу відповідає відрізок на горизонтальній осі однакової довжини, а виміряна змінна зображується як висота, що залишається постійною протягом цього часового періоду. При такому графічному методі графік виглядає як послідовність горизонтальних сходинок. Як альтернатива, кожен період часу можна розглядати як окрему точку в часі, зазвичай з цілим значенням на горизонтальній осі, а виміряна змінна зображується як висота над цією точкою осі часу. При цьому методі графік виглядає як набір точок.

Значення змінної, виміряної в неперервному часі, зображуються у вигляді неперервної функції, оскільки область визначення часу вважається всією дійсною віссю або принаймні деякою її зв'язною частиною.

Див. також

Аліасинг Процес Бернуллі Цифрові дані Дискретне числення Дискретна система Дискретизація Нормалізована частота Теорема Найквіста — Шеннона Числення на часових шкалах

Примітки