У математиці, зокрема в абстрактній алгебрі, бінарна операція • на множині є гнучкою, якщо вона задовольняє тотожність гнучкості:
для будь-яких двох елементів a і b множини.
Магма (тобто множина, оснащена бінарною операцією) є гнучкою, якщо її бінарна операція є гнучкою. Аналогічно, неасоціативна алгебра є гнучкою, якщо її операція множення є гнучкою.
Кожна комутативна або асоціативна операція є гнучкою, тому гнучкість стає важливою для бінарних операцій, які не є ні комутативними, ні асоціативними, наприклад для множення седеніонів, які навіть не є альтернативними.
У 1954 році Річард Д. Шафер дослідив алгебри, що породжуються процедурою Кейлі—Діксона над полем, і показав, що вони задовольняють тотожність гнучкості.
Приклади
Окрім асоціативних алгебр, такі класи неасоціативних алгебр є гнучкими: альтернативні алгебри алгебри Лі алгебри Йордана (які є комутативними) алгебри Окубо
Для магм існує лише бінарна операція множення без додавання чи скалярного множення над базовим кільцем або полем, як в алгебрах. Тому альтернативні та комутативні магми є гнучкими — з альтернативності та комутативності випливає гнучкість. Це включає багато важливих класів магм: усі групи, напівгрупи та петлі Мафанг є гнучкими.
Седеніони та тригінтадуоніони, а також усі алгебри, побудовані з них ітерацією процедури Кейлі—Діксона, також є гнучкими.
Див. також Кільце Цорна Алгебра Мальцева
Посилання