Модифіковані функції Бесселя — функції Бесселя від суто уявного аргументу.
Якщо в диференціальному рівнянні Бесселя
замінити на , воно набуде вигляду
Це рівняння називають модифікованим рівнянням Бесселя.
Якщо не є цілим числом, то функції Бесселя і — два лінійно незалежні розв'язки рівняння . Однак частіше використовують функції
и
Їх називають модифікованими функціями Бесселя першого роду чи функціями Інфельда. Якщо — дійсне число, а z невід'ємне, ці функції набувають дійсних значень.
називаєтся порядком функції.
Функція
також є розв'язком рівняння . Її називають модифікованою функцією Бесселя другого роду або функцією . Очевидно, що
і набуває дійсних значень, якщо — дійсне число, а — додатне.
Функції цілого порядку Оскільки , за цілого як рівняння вибирають і де
Рекурентні співвідношення та формули диференціювання
Модифіковані функції Бесселя першого роду
Модифіковані функції Бесселя другого роду
Вронськіан системи модифікованих функцій Бесселя
Інтегральні подання
Модифіковані функції Бесселя першого роду
— гамма-функция.
Модифіковані функції Бесселя другого роду
Асимптотична поведінка
Частковий і загальний випадки:
Зауваження
Існує класичний ряд за j-функціями Бесселя.
Див. також
Циліндричні функції
Література
Примітки
Посилання