У математичній теорії вузлів многочлен HOMFLY або многочлен HOMFLYPT (іноді, узагальнений многочлен Джонса) — многочлен вузла з 2 змінними, тобто інваріант вузла у формі многочлена змінних m і l.

Центральним питанням математичної теорії вузлів є те, чи дві діаграми вузлів представляють один і той самий вузол. Один із інструментів для відповідей на такі запитання — многочлен вузла: його обчислюють за діаграмою вузла і можна показати, що він є інваріантом вузла, тобто діаграми, що представляють той самий вузол, мають однаковий многочлен. Обернене може бути хибним. Многочлен HOMFLY є одним із таких інваріантів, він узагальнює два раніше відкриті многочлени, многочлен Александера та многочлен Джонса, які можна отримати з HOMFLY відповідними замінами. Многочлен HOMFLY також є квантовим інваріантом.

Назва HOMFLY поєднує в собі ініціали його співвідкривачів: Джима Госте (Jim Hoste), , , , та Девіда Єттера (David N. Yetter). Додаток PT вказує на незалежний внесок і Павла Трачика (Paweł Traczyk).

Визначення Многочлен визначають за допомогою скейн-співвідношення:

де  — зачеплення, утворені перетином та згладжуванням у локальній ділянці діаграми зачеплення, як показано на малюнку.

Многочлен HOMFLY зачеплення L, яка є розділеним об'єднанням двох зачеплень і має вигляд

На сторінці про скейн-співвідношення є приклад обчислення з використанням таких співвідношень.

Інші скейн-співвідношення HOMFLY Цей многочлен можна також отримати, використовуючи інші скейн-співвідношення:

Основні властивості

де # позначає суму вузлів; таким чином, поліном HOMFLY складеного вузла є добутком многочленів HOMFLY його компонентів.

тому многочлен HOMFLY часто можна використати для розрізнення двох вузлів різної хіральності. Однак існують хіральні пари вузлів, які мають однаковий многочлен HOMFLY, наприклад вузли 942 і 1071 разом із відповідними дзеркальними зображеннями.

Многочлен Джонса, V (t), і многочлен Александера, можна обчислити через многочлен HOMFLY (версія зі змінними і ):

Примітки

Література , Formal knot theory, Princeton University Press, 1983. An Introduction to Knot Theory. Спрингер.ISBN 0-387-98254-X.

Посилання «Jones-Conway polynomial», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001

The HOMFLY-PT Polynomial, The Knot Atlas.