Інваріант вузла — характеристика вузла (у найпростішому випадку число, але може бути многочленом, групою і так далі), визначена для кожного вузла і однакова для еквівалентних вузлів. Еквівалентність зазвичай задається , але може задаватися і як гомеоморфізм.
Дослідження інваріантів мотивовані не тільки основним завданням теорії — розрізненням вузлів — але також і необхідністю зрозуміти фундаментальні властивості вузлів та їх зв'язком з іншими галузями математики.
З сучасної точки зору, природно визначати інваріант вузла за його діаграмою. Звичайно, інваріант повинен залишатися незмінним під час рухів Рейдемейстера, ця властивість еквівалентна інваріантності характеристики.
Приклади Найпростішим прикладом інваріанта є можливість , а також кількість таких розмальовок. Одними з найзручніших інваріантів для розрізнення вузлів є многочлени вузлів: многочлен Джонса; многочлен Александера. — клас інваріантів вузлів, що характеризується певним співвідношенням на всі розділення сингулярного вузла з даним числом самоперетинів. Інші інваріанти можуть бути визначені при розгляді деяких цілих функцій на вузлових діаграмах, взяттям їх мінімуму серед усіх можливих діаграм даного вузла. До цього типу відноситься число перетинів, яке є мінімумом кількості перехресть серед всіх діаграм вузла, а також мінімальна число мостів. Такі інваріанти легко визначити, але майже неможливо порахувати. Теорема Гордона — Люка стверджує, що доповнення вузла (як топологічного простору) є «повним інваріантом» вузла, в тому сенсі, що воно відрізняє заданий вузол від всіх інших з точністю до охоплювальної ізотопії та дзеркального відображення. Серед інваріантів, пов'язаних з доповненням вузла, є група вузла, яка є просто фундаментальною групою його доповнення. Квандл вузла (knot quandle) також є повним інваріантом у цьому сенсі, але квандли складно порівнювати на ізоморфність. Гіперболічна структура на доповненні гіперболічного зачеплення однозначно визначається жорсткістю Мостова, тому гіперболічний об'єм інваріантний для цих вузлів і зачеплень. Об'єм та інші гіперболічні інваріанти виявилися ефективними, для складання великих таблиць вузлів. гомологічні інваріанти вузлів, які категорифікують (переводять у терміни теорії категорій) добре відомі інваріанти. Наприклад Гомологія Гігарда Флора — це теорія гомології, ейлеровою характеристикою якої є многочлен Александера вузла. Вона виявилася корисною для отримання нових результатів про класичні інваріанти. Ще один напрямок досліджень — комбінаторно визначена теорія когомологій, названа , її ейлерова характеристика — многочлен Джонса.
Див. також Квантовий інваріант
Література