Розбіжний ряд — в математичному аналізі, це ряд, який не є збіжним.
За критерієм: послідовність його часткових сум не має границі.
Також границя доданків ряду не існує як в , або не прямує до нуля, як в
Існують різні методи сумування, щоб знайти значення «суми ряду» для деяких рядів.
Властивості методів сумування Методи сумування здебільшого використовують послідовність модифікованих часткових сум, яка має кращі шанси збіжності.
Для ряду з елементів a та його часткових сум s розглянем метод A(s) та AΣ(a): Регулярність — якщо послідовність s збіжна до x, то і Тобто Лінійність — A є лінійною якщо вона є лінійною функцією на послідовності на якій визначена, так що для послідовностей r, s і скаляра k. Оскільки ,це еквівалентно до AΣ є лінійною функцією відносно ряду. Стабільність — якщо послідовність s починається з s0 та s' — послідовність що пропускає перше значення і модифікує всі наступні таким чином: , тоді Скінченна переіндексація. Якщо a та a' такі 2 ряда, що існує бієкція така, що для всіх i, і якщо існує деяке таке що для всіх i > N, тоді (Тобто, a′ це той же ряд a, лише зі скінченною кількістю переіндексованих елементів.)
Важливою властивістю пари методів є узгодженість: A та B є узгодженими, якщо для довільної послідовності s, (Тобто A є регулярним, якщо він узгоджений із Σ.)
Теореми про методи сумування
Абелівська теорема (за прототипом теореми Абеля): Метод сумування є регулярним, якщо його результат співпадає зі звичайним сумуванням для усіх збіжних рядів.
Теорема Таубера: частково обернене твердження, що якщо M підсумовує ряд Σ і виконується деяка побічна умова, то Σ був збіжним спочатку; без будь-якої побічної умови такий результат означатиме, що M підсумовує лише збіжні ряди (що робить його непридатним як метод підсумовування для розбіжних рядів).
Класичні методи сумування Класичними методами є (сума ряду) та (абсолютна збіжність) і для розбіжних рядів вони не мають границь.
Методи сумування Нові методи сумування вводять нові означення збіжності: Збіжність за Чезаро Збіжність за Пуассоном — Абелем Збіжність за Ейлером Збіжність за Борелем
Джерела