Besselova neenakost je matematična trditev o koeficientih elementa v Hilbertovem prostoru glede na ortonormirano zaporedje . Neenakost je poimenovana po F. W. Besselu, ki je leta 1828 izpeljal poseben primer današnjega izraza.

Ta neenakost je posplošitev Pitagorovega izreka na neskončnodimenzionalne prostore. Pravi, da je norma vektorja ( ) večja ali enaka vsoti norm njenih projekcij na množico pravokotnih baznih smeri. Vrednost predstavlja prispevek normi vzdolž smeri . Neenakost zagotavlja, da vsota teh prispevkov ne more preseči .

Ko ortonormalno zaporedje tvori polno ortonormalno bazo, Besselova neenakost postane enakost, znana kot Parsevalova enakost . To pomeni, da je vsota norm projekcij enaka celotni normi vektorja. Neenakost je ključno orodje za ugotavljanje konvergence Fourierovih vrst in drugih razvojev v Hilbertovih prostorih.

Trditev neenakosti Naj bo Hilbertov prostor in ortonormalno zaporedje v . Potem za vsak vektor velja:

,

kjer ⟨·,·⟩ označuje notranji produkt v Hilbertovem prostoru in označuje normo, ki jo ta skalarni produkt inducira.

Členi so Fourierovi koeficienti za glede na zaporedje . Neenakost pravi, da vrsta kvadriranih velikosti teh koeficientov konvergira. To dovoljuje, da definitamo vektor , ki predstavlja projekcijo na podprostor, ki ga napenja ortonormalno zaporedje:

Besselova neenakost zagotavlja, da ta vrsta konvergira . Če zaporedje tvori polno ortonormalno baza, potem velja , in neenakost postane enakost, znana kot Parsevalova enakost .

Dokaz Neenakost izhaja iz nenegativnosti norme vektorja. Za poljubno število , naj bo

.

Vektor je projekcija na podprostor, ki ga napenja prvih baznih vektorjev. Vektor je pravokoten na ta podprostor in s tem tudi na sam. Po Pitagorovem izreku za prostore s skalarnim produktom velja . Za dokaz je potrebno le izračunati :

To velja za vsak . Ker so delne vsote nenegativne in omejene z od zgoraj, vrsta konvergira in je manjša ali enaka .

Fourierova vrsta V teoriji Fourierovih vrst, v posebnem primeru Fourierovega ortonormalnega sistema velja naslednje: naj ima periodična funkcija obhodni čas . Potem je

Če velja še , potem

Neštevni primer Bolj splošno velja, da če je pred-Hilbertov prostor in ortonormalni sistem, potem za vsak

To dokazuje ugotovitev, da če je končno, potem

.

Nato po definiciji neskončne vsote

Glej tudi Cauchy–Schwarzova neenakost

Reference

Zunanje povezave

Bessel's Inequality the article on Bessel's Inequality on MathWorld.

Kategorija:Hilbertov prostor