thumb|right|220px|Eden od 14-ih sedemkotnikovih trikotnikov v pravilnem (izbočenem) sedemkotniku. thumb|right|220px|
Obstaja štirinajst skladnih sedemkotnikovih trikotnikov, sestavljenih iz ene zelene, ene modre in ene rdeče stranice. Sedemkotnikov trikotnik je v evklidski geometriji topokotni, raznostranični trikotnik, katerega oglišča sovpadajo s prvim, drugim in četrtim ogliščem pravilnega sedemkotnika (iz poljubnega začetnega oglišča). Tako njegove stranice sovpadajo z eno stranico in sosednjima kratko in dolgo diagonalo pravilnega sedemkotnika.
Vsi sedemkotnikovi trikotniki so si podobni (imajo enako obliko), zato so skupaj znani kot sedemkotnikov trikotnik. Med seboj so tudi skladni. Njegovi koti imajo velikosti v radianih:
, in ,
oziroma približno 26°, 51° in 103°. Do podobnosti je edini trikotnik s koti in posledično stranicami v razmerjih 1 : 2 : 4. Sedemkotnikov trikotnik ima tako kot zlati trikotnik, katerega koti so v razmerju 1 : 2 : 2, različne izjemne lastnosti.
Ključne in razne lastnosti
thumb|right|220px|Za sedemkotnikov trikotnik (oranžno) je trikotnik (modro), ki ga tvorita središče očrtane krožnice in njegovi dve Fermat-Torricellijevi točki in , enakostraničen.
Središče krožnice devetih točk sedemkotnikovega trikotnika je tudi njegova prva Brocardova točka.
Druga Brocardova točka leži na krožnici devetih točk.
Središče očrtane krožnice in Fermat-Torricellijevi točki (izogonski središči) sedemkotnikovega trikotnika tvorijo enakostranični trikotnik.
Razdalja med središčem očrtane krožnice in višinsko točko (ortocentrom) je podana z:
kjer je polmer očrtane krožnice. Kvadrat razdalje od središča včrtane krožnice do višinske točke je:
kjer je polmer včrtane krožnice.
Tangenti iz višinske točke na očrtano krožnico sta medsebojno pravokotni.
Razmerja razdalj
Stranice
Stranice sedemkotnikovega trikotnika sovpadajo s stranico, kratko in dolgo diagonalo pravilnega sedemekotnika. Zanje veljajo zveze:
(kjer se zadnja zveza imenuje optična enačba) in tako:
ter:
Optična enačba sledi iz Ptolemejevega izreka za tetivni štirikotnik s stranicami , , in , ter diagonalama in , kjer se izrek deli z :
Za razmerja , in velja kubična enačba:
Vendar za rešitve te enačbe ne obstajajo algebrski izrazi s čisto realnimi členi, ker je to primer casusa irreducibilisa.
Približna zveza stranic je:
Tudi za razmerja:
velja kubična enačba:
Prav tako za razmerja:
podobno velja kubična enačba:
Tudi za razmerja:
velja kubična enačba:
Veljajo tudi zveze:
in:
Veljajo tudi zveze:
Višine
Za višine , in velja:
in:
Višina na stranico (nasprotni kot je enaka polovici simetrale notranjega kota kota :
Tukaj je najmanjši notranji kot, pa drugi najmanjši.
Simetrale notranjih kotov
Za simetrale notranjih kotov in kotov in veljajo naslednje lastnosti:
Polmer očrtane, včrtane in pričrtane krožnice
Ploščina sedemkotnikovega trikotnika je enaka:
kjer je polmer očrtane krožnice trikotnika.
Vsota kvadratov stranic sedemkotnikovega trikotnika je enaka:
Velja tudi:
Razmerje polmera včrtane krožnice in polmera očrtane krožnice je enako pozitivni rešitvi kubične enačbe:
Poleg tega je za dolžine stranic:
Velja še:
Na splošno za vsa cela števila velja:
kjer je:
in:
Velja tudi:
in:
Polmer pričrtane krožnice , ki ustreza stranici , je enak polmeru krožnice devetih točk sedemkotnikovega trikotnika.
Višinski trikotnik
430px|thumb|right|220px|Sedemkotnikov trikotnik (oranžno) je edini topokotni trikotnik, ki je podoben svojemu višinskemu (ortičnemu) trikotniku (zeleno). Očrtana krožnica višinskega trikotnika sedemkotnikovega trikotnika je krožnica devetih točk (vijolično).
Višinski ali ortični trikotnik sedemkotnikovega trikotnika z oglišči pri vznožjih višin je podoben sedemkotnikovemu trikotniku, s podobnostnim razmerjem 1 : 2. Sedemkotnikov trikotnik je edini topokotni trikotnik, ki je podoben svojemu višinskemu trikotniku (enakostranični trikotnik je edini ostrokotni trikotnik z isto lastnostjo in enakim sorazmerjem).
Očrtana krožnica višinskega trikotnika sedemkotnikovega trikotnika je krožnica devetih točk (Eulerjeva krožnica).
Hiperbola
Pravokotna hiperbola skozi točke ima naslednje lastnosti:
prvo gorišče središče leži na krožnici devetih točk (splošna lastnost) in na krožnici drugo gorišče leži na očrtani krožnici
Trigonometrične lastnosti
Trigonometrične enakosti
Različne trigonometrične enakosti, povezane s sedemkotnikovim trikotnikom, so:
Kubični polinomi
Kubična enačba ima rešitve: .
Pozitivna rešitev kubične enačbe je enaka .
Ničle kubične enačbe so: .
Ničle kubične enačbe so: .
Ničle kubične enačbe so: .
Ničle kubične enačbe so: .
Ničle kubične enačbe so: .
Zaporedja
Za celo število naj velja:
: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Ramanudžanove enakosti
Ramanudžanove enakosti so:
Opombe
Sklici
Viri
Kategorija:Vrste trikotnikov