Kvadrátna fórma je v matematiki homogeni polinom, katerega vsi členi so stopnje dve (»forma« je drugo ime za homogeni polinom). Na primer:
je (binarna) kvadratna forma spremenljivk in . Koeficienti običajno pripadajo fiksnemu polju , kot so realna ali kompleksna števila, in je govora o kvadratni formi nad . Nad realnimi števili se kvadratna forma imenuje definitna, če ima vrednost nič le, ko so vse njene spremenljivke hkrati nič; sicer je izotropna.
Kvadratne forme zasedajo osrednje mesto v različnih vejah matematike, vključno s teorijo števil, linearno algebro, teorijo grup (ortogonalne grupe), diferencialno geometrijo (Riemannova metrika, druga fundamentalna (kvadratna) forma), diferencialno topologijo (presečne forme mnogoterosti, zlasti 4-mnogoterosti), Liejevo teorijo (Killingova forma) in statistiko (kjer ima eksponent ničelno povprečne večvariančne normalne porazdelitve kvadratno formo ).
Kvadratnih form se ne sme zamenjevati s kvadratnimi enačbami, ki imajo samo eno spremenljivko in lahko vključujejo člene stopnje manjše od dveh. Kvadratna forma je specifičen primer splošnejšega koncepta form.
Uvod
Kvadratne forme so homogeni kvadratni polinomi spremenljivk. V primerih ene, dveh in treh spremenljivk se imenujejo unarne, binarne in ternarne ter imajo naslednjo eksplicitno obliko:
kjer so koeficienti.
Teorija kvadratnih form in metode, ki se uporabljajo pri njihovem preučevanju, so v veliki meri odvisne od narave koeficientov, ki so lahko realna ali kompleksna števila, racionalna ali cela števila. V linearni algebri, analitični geometriji in v večini aplikacij kvadratnih form so koeficienti realna ali kompleksna števila. V algebrski teoriji kvadratnih form so koeficienti elementi določenega polja. V aritmetični teoriji kvadratnih form koeficienti pripadajo fiksnemu komutativnemu kolobarju, pogosto celim številom ali p-adičnim celim številom . Binarne kvadratne forme so bile obsežno preučene v teoriji števil, zlasti v teoriji kvadratnih polj, verižnih ulomkov in modularnih form. Teorija integralnih kvadratnih form spremenljivk ima pomembne aplikacije v algebrski topologiji.
Z uporabo homogenih koordinat neničelna kvadratna forma spremenljivk definira -razsežno kvadriko v -razsežnem projektivnem prostoru. To je osnovna konstrukcija v projektivni geometriji. Na ta način se lahko trirazsežne realne kvadratne forme predstavlja kot stožnice. Zgled je trirazsežni evklidski prostor in kvadrat evklidske norme, ki izraža razdaljo med točko s koordinatami in izhodiščem:
Tesno povezan pojem z geometrijskimi prizvoki je kvadratni prostor, ki je par , kjer je vektorski prostor nad poljem , pa kvadratna forma na . Za definicijo kvadratne forme na vektorskem prostoru glej spodaj.
Zgodovina
Raziskovanje kvadratnih form, zlasti vprašanje, ali je dano celo število lahko vrednost kvadratne forme nad celimi števili, sega mnogo stoletij nazaj. Eden takšnih primerov je Fermatov izrek o vsotah dveh kvadratov, ki določa, kdaj se lahko celo število izrazi v obliki , kjer sta in celi števili. Ta problem je povezan s problemom iskanja pitagorejskih trojic, ki se je pojavil v drugem tisočletju pred našim štetjem.
Leta 628 je indijski matematik in astronom Bramagupta delo Brāhmasphuṭasiddhānta, ki med drugim vključuje raziskovanje enačb oblike . Obravnaval je tisto, kar se sedaj imenuje Pellova enačba, , in našel metodo za njeno rešitev. V Evropi so ta problem preučevali Brouncker, Euler in Lagrange.
Leta 1801 je Gauss objavil delo Aritmetična raziskovanja (Disquisitiones arithmeticae), katerega večji del je bil posvečen popolni teoriji binarnih kvadratnih form nad celimi števili. Od tedaj se je koncept posplošil, povezave s kvadratnimi številskimi polji, modularno grupo in drugimi področji matematike pa so bile dodatno pojasnjene.
Pridružena simetrična matrika
Poljubna matrika velikosti določa kvadratno formo spremenljivk z:
kjer je .
Zgled
Obravnava se zgled kvadratnih form treh spremenljivk . Matrika ima obliko:
Zgornja formula da:
Tako dve različni matriki definirata isto kvadratno formo, če in samo če imata enake elemente na diagonali in enake vrednosti za vsote , in . Kvadratna forma je definirana z edinstveno simetrično matriko:
To se posploši na poljubno število spremenljivk kot sledi.
Splošni primer
Glede na kvadratno formo nad realnimi števili, definirano z matriko , je matrika:
simetrična, definira isto kvadratno formo kot in je edinstvena simetrična matrika, ki definira .
Torej, nad realnimi števili (in, bolj splošno, nad poljem karakteristike, ki je drugačna od dva), obstaja povratno enolična korespondenca med kvadratnimi formami in simetričnimi matrikami, ki jih določajo.
Realne kvadratne forme
Temeljni problem je klasifikacija realnih kvadratnih form pri linearni spremembi spremenljivk.
Jacobi je dokazal, da za vsako realno kvadratno formo obstaja ortogonalna diagonalizacija, torej ortogonalna sprememba spremenljivk, ki kvadratno formo postavi v »diagonalno formo«:
kjer je pridružena simetrična matrika diagonalna. Poleg tega so koeficienti določeni enolično do permutacije.
Če je sprememba spremenljivk podana z obrnljivo matriko, ki ni nujno ortogonalna, se lahko predpostavi, da so vsi koeficienti enaki 0, 1 ali −1. Sylvestrov zakon vztrajnosti pravi, da so števila 0, 1 in −1 invariante kvadratne forme, v smislu, da bo vsaka druga diagonalizacija vsebovala enako število vsakega števila. Signatura kvadratne forme je trojica , kjer te komponente štejejo število ničel, število enic in število števil −1. Sylvestrov zakon vztrajnosti kaže, da je to dobro definirana količina, povezana s kvadratno formo.
Še posebej pomemben je primer, ko imajo vsi enak predznak: v tem primeru se kvadratna forma imenuje pozitivno definitna (vsi so enaki 1) ali negativno definitna (vsi so enaki −1). Če nobeden od členov ni 0, se forma imenuje ; to vključuje pozitivno definitno, negativno definitno in izotropno kvadratno formo (mešanica 1 in −1). Enakovredno je nedegenerirana kvadratna forma tista, katere pridružena simetrična forma je nedegenerirana bilinearna forma. Realni vektorski prostor z nedefinitno nedegenerirano kvadratno formo indeksa , (ki označuje enic in števil −1), se pogosto označuje kot , zlasti v fizikalni teoriji prostora-časa.
Diskriminanto kvadratne forme, natančneje razred determinante reprezentativne matrike v (do neničelnih kvadratov), je mogoče prav tako definirati, za realno kvadratno formo pa je bolj groba invarianta kot signatura, ki sprejema vrednosti le »pozitivno, nič ali negativno«. Nič ustreza degenerirani formi, medtem ko je za nedegenerirano formo parnost števila negativnih koeficientov, .
Ti rezultati so spodaj preformulirani na drugačen način.
Naj je kvadratna forma, definirana na -razsežnem realnem vektorskem prostoru in naj je matrika kvadratne forme v dani bazi. To pomeni, da je takšna simetrična matrika velikosti , da je:
kjer je stolpčni vektor koordinat v izbrani bazi. Pri spremembi baze se stolpec na levi pomnoži z obrnljivo matriko S velikosti , simetrična kvadratna matrika pa se pretvori v drugo simetrično kvadratno matriko enake velikosti po formuli:
Vsako simetrično matriko se lahko pretvori v diagonalno matriko:
z ustrezno izbiro ortogonalne matrike , diagonalni elementi matrike pa so enolično določeni – to je Jacobijev izrek. Če je poljubna obrnljiva matrika, potem se lahko naredi tako, da ima na diagonali samo 0, 1 in −1, število elementov vsake vrste ( za 0, za 1 in za −1) pa je odvisno samo od . To je ena od formulacij Sylvestrovega zakona vztrajnosti, števili in pa se imenujeta pozitivni in negativni vztrajnostni indeks. Čeprav je njuna definicija vključevala izbiro baze in upoštevanje ustrezne realne simetrične matrike , Sylvestrov zakon vztrajnosti pomeni, da sta invarianti kvadratne forme .
Kvadratna forma je pozitivno definitna, če je (podobno negativno definitna, če je ) za vsak neničelni vektor . Ko prevzame tako pozitivne kot negativne vrednosti, je izotropna kvadratna forma. Jacobijev in Sylvestrov izrek kažeta, da se lahko poljubno pozitivno definitno kvadratno formo spremenljivk z ustrezno obrnljivo linearno transformacijo spravi v vsoto kvadratov: geometrijsko obstaja samo ena pozitivno definitna realna kvadratna forma vsake razsežnosti. Njena izometrijska grupa je kompaktna ortogonalna grupa . To je v nasprotju s primerom izotropnih form, ko je ustrezna grupa, nedoločena ortogonalna grupa , nekompaktna. Poleg tega sta izometrijski grupi in enaki (), vendar so pripadajoče Cliffordove algebre (in s tem pinske grupe) različne.
Definicije
Kvadratna forma nad poljem je takšna preslikava iz končnorazsežnega -vektorskega prostora v , tako da je za vse in funkcija je bilinearna forma.
Bolj konkretno, -arna kvadratna forma nad poljem je homogeni polinom stopnje 2 spremenljivk s koeficienti v :
To formulo se lahko prepiše z uporabo matrik: naj bo stolpčni vektor s komponentami in matrika velikosti nad , katere elementi so koeficienti . Potem je:
Vektor je ničelni vektor, če je .
Dve -arni kvadratni formi in nad sta enakovredni, če obstaja takšna nesingularna linearna transformacija (splošna linearna grupa), da velja:
Naj je karakteristika različna od 2. Matriko koeficientov kvadratne forme se lahko nadomesti s simetrično matriko z enako kvadratno formo, zato se lahko že od začetka predpostavi, da je simetrična. Poleg tega je simetrična matrika enolično določena z ustrezno kvadratno formo. Pri enakovrednosti sta simetrična matrika kvadratne forme in simetrična matrika kvadratne forme povezani na naslednji način:
Pridružena bilinearna forma kvadratne forme je definirana kot:
Tako je simetrična bilinearna forma nad z matriko . Nasprotno, vsaka simetrična bilinearna forma definira kvadratno formo:
in ta dva procesa sta drug drugemu obratna. Posledično sta nad poljem karakteristike, ki ni enaka 2, teoriji simetričnih bilinearnih form in kvadratnih form spremenljivk v bistvu enaki.
Kvadratni prostor
Glede na -razsežni vektorski prostor nad poljem je kvadratna forma na funkcija z naslednjo lastnostjo: za neko bazo je funkcija , ki preslika koordinate v , kvadratna forma. Še posebej, če je s svojo standardno bazo, velja:
Formule za spremembo baz kažejo, da lastnost kvadratne forme ni odvisna od izbire specifične baze v , čeprav je kvadratna forma odvisna od izbire baze.
Končnorazsežni vektorski prostor s kvadratno formo se imenuje kvadratni prostor.
Preslikava je homogena funkcija stopnje 2, kar pomeni, da ima lastnost, da za vse v in v velja:
Ko karakteristika ni enaka 2, je definirana bilinearna preslikava nad :
Ta bilinearna oblika je simetrična. To pomeni, da je za vse v in določa za vse v .
Ko je karakteristika enaka 2, tako da 2 ni enota, je še vedno mogoče uporabiti kvadratno formo za definiranje simetrične bilinearne forme . Vendar pa iz te ni več mogoče na enak način izpeljati, ker je za vse (in je tako izmenična). Druga možnost je, da vedno obstaja takšna bilinearna forma (na splošno ne enolična ne simetrična), da je .
Par , ki ga sestavljata končnorazsežni vektorski prostor nad in kvadratna preslikava iz v , se imenuje kvadratni prostor, , kot je definirana tukaj, pa je pridružena simetrična bilinearna forma . Pojem kvadratnega prostora je brezkoordinatna različica pojma kvadratne forme. Včasih se tudi imenuje kvadratna forma.
Dva -razsežna kvadratna prostora in sta izometrična, če obstaja takšna obrnljiva linearna transformacija (izometrija), da velja:
Razredi izometrije -razsežnih kvadratnih prostorov nad ustrezajo razredom enakovrednosti -arnih kvadratnih form nad .
Posplošitev
Naj je komutativni kolobar, -modul in -bilinearna forma. Preslikava je pridružena kvadratna forma od , pa je polarna forma od .
Kvadratno formo se lahko okarakterizira na naslednja enakovredna načina:
obstaja takšna -bilinearna forma , da je pridružena kvadratna forma. za vse in , polarna forma od pa je -bilinearna.
Sorodni koncepti