Gelfond-Schneiderjeva konstanta ali Hilbertovo število je v matematiki konstanta, definirana kot število 2 na potenco njegovega kvadratnega korena:

Leta 1930 je Rodion Osijevič Kuzmin dokazal da je konstanta transcendentno število. Aleksander Osipovič Gelfond (1906–1968) in Theodor Schneider (1911–1988) sta leta 1934 neodvisno dokazala širši Gelfond-Schneiderjev izrek, ki je razrešil del Hilbertovega sedmega problema: ali je število oblike transcendentno, za algebrski in iraconalni algebrski , opisan spodaj.

Značilnosti

Kvadratni koren Gelfond-Schneiderjeve konstante je transcendentno število:

S to konstanto se lahko dokaže, da »je iracionalno število na iracionalno potenco lahko racionalno«, tudi brez predhodnega dokaza njegove transcendence. Dokaz je naslednji: ali je število racionalno, kar dokazuje izrek, ali je iracionalno (kot se izkaže da je), in potem je:

iracionalno na iracionalno potenco, ki je racionalno, kar dokazuje izrek. Dokaz ni konstruktiven, saj ne pove kateri od obeh primerov je pravilen, vendar je preprostejši od Kuzminovega dokaza.

Hilbertov sedmi problem

Del od Hilbertovega sedmega problema, postavljenega leta 1900, je bil dokazati ali najti protiprimer za trditev, da je število oblike vedno transcendentno za algebrski in iracionalni algebrski . V nagovoru je navedel dva eksplicitna primera, eden od njiju je bila Gelfond-Schneiderjeva konstanta .

David Hilbert je imel leta 1919 predavanje o teoriji števil in dovoril o treh domnevah: Riemannovi domnevi, Fermatovem velikem izreku in transcendentnosti števila . Publiki je omenil, da nihče v dvorani ne bo živel dovolj dolgo, da bo videl dokaz tega rezultata. Toda dokaz o transcendenci tega števila je objavil Kuzmin leta 1930, še precej v času Hilbertovega življenja. Kuzmin je namreč dokazal primer, ko je eksponent realno kvadratno iracionalno število, ki sta ga kasneje Gelfond in Schneider razširila na poljubno algebrsko iracionalno število .

Glej tudi

Gelfondova konstanta

Sklici

Viri

Nadaljnje branje

Viri

Kategorija:Matematične konstante Kategorija:Transcendentna števila