Мультивектор — элемент внешней алгебры, представляющий собой сумму поливекторов (векторов, бивекторов, тривекторов и т. д.).
Любой поливектор (k-вектор) можно представить как сумму k-лезвий (простых k-векторов), где каждое k-лезвие в свою очередь разложимо на внешнее произведение векторов количеством k штук.
2-лезвие может быть геометрически представлено как ориентированная плоскость в пространстве любой размерности и может использоваться для представления вращения в нём.
n-вектор в пространстве размерности n называется псевдоскаляром, тогда как (n-1)-вектор называется псевдовектором. Так, псевдовектором трёхмерного пространства является любой бивектор.
Сумма 1-вектора и скаляра также известна как паравектор.
k-вектор дуален к k-форме.
Свойства: Любая линейно независимая система векторов из определяет ненулевой k-вектор; Линейно независимые системы и порождают одно и то же подпространство в в том и только в том случае, когда ; Для любого ненулевого поливектора его аннулятор есть подпространство размерности , причём поливектор разложим тогда и только тогда, когда ; Разложимые k-векторы -мерного пространства образуют коническое алгебраическое многообразие в соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана; Любой ненулевой -вектор или -вектор в -мерном пространстве разложим; Бивектор разложим тогда и только тогда, когда ; Если фиксировать ненулевой -вектор , то возникает естественный изоморфизм:
такой, что для всех .
Примечания
Литература Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1980. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
Категория:Полилинейная алгебра Категория:Тензорное исчисление