Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.
Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.
Формулировка
Площадь многоугольника с целочисленными вершинамиТочка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые. равна , где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Следствия Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби.
Вариации и обобщения
Многочлен Эрара даёт один из вариантов обобщения формулы Пика на старшие размерности.
Если все грани целочисленного многогранника центрально симметричны (в частности если многогранник является зонэдром) то его объём может быть вычислен по формуле
где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам и телесный угол при ; если лежит внутри , то считается что . Аналогичное утверждение верно и в -мерном евклидовом пространстве
где обозначает площадь единичной сферы в .
Примечания
Литература
Категория:Комбинаторная геометрия Категория:Геометрия чисел Пика Категория:Многоугольники