Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица , заполненная различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от до . Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна .
Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением , хотя случай тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.
2761595115438151515151515
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой
Первые значения магических констант приведены в следующей таблице ():
Порядок 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105
Исторически значимые магические квадраты
Квадрат Ло Шу
Ло Шу () Единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н. э.
4 9 2 3 5 7 8 1 6 В западноевропейской традиции этот квадрат называется «Печать Сатурна» (Sigillum Saturni). Параметры квадрата: 3, 9, 15, 45 (3х3, 9 ячеек, сумма по всем направлениям 15, сумма всех чисел в квадрате — 45).
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
45 : 3 = 15
Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия) Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо: 7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4
Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
136 : 4 = 34
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай) В XIII в. математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37)В. Е. Еремеев «Традиционная наука Китая », Глава 5: Математика.:
27 29 2 4 13 36 9 11 20 22 31 18 32 25 7 3 21 23 14 16 34 30 12 5 28 6 15 17 26 19 1 24 33 35 8 10 Сумма всех 36 чисел равна 666
666 : 6 = 111
Квадрат Альбрехта Дюрера
Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусствеН.Макарова «Магический квадрат Дюрера ». Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514). 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1
Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Данный квадрат является «Печатью Юпитера» (Sigillum Iouis), имеет параметры: 4, 16, 34, 136 (размер 4х4, 16 ячеек, сумма по направлениям — 34, сумма всех чисел равна 136).
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 136
136 : 4 = 34
Магические квадраты Афанасия Кирхера
Квадрат Марса Квадрат или печать Марса (Sigillum Martis) имеет параметры: 5, 25, 65, 325 (размер 5х5, 25 ячеек, сумма по направлениям — 65, сумма всех чисел равна 325). 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15 350 : 5 = 70
Квадрат Солнца Печать Солнца (Sigillum Solis) имеет параметры: 6, 36, 111, 666 (размер 6х6, 36 ячеек, сумма по направлениям — 111, сумма всех чисел равна 666). 6 32 3 34 35 1 7 11 27 28 8 30 19 14 16 15 23 24 18 20 22 21 17 13 25 29 10 9 26 12 36 5 33 4 2 31 666 : 6 = 111
Квадрат Венеры Печать Венеры (Sigillum Veneris) имеет параметры: 7, 49, 175, 1225 (размер 7х7, 49 ячеек, сумма по направлениям — 175, сумма всех чисел — 1225). 22 47 16 41 10 35 4 5 23 48 17 42 11 29 30 6 24 49 18 36 12 13 31 7 25 43 19 37 38 14 32 1 26 44 20 21 39 8 33 2 27 45 46 15 40 9 34 3 28 1225 : 7 = 175
Квадрат Меркурия Печать Меркурия (Sigillum Mercurio) имеет параметры: 8, 64, 260, 2080 (размер 8х8, 64 ячейки, сумма по направлениям — 260, сумма всех чисел — 2080). 8 58 59 5 4 62 63 1 49 15 14 52 53 11 10 56 41 23 22 44 45 19 18 48 32 34 35 29 28 38 39 25 40 26 27 37 36 30 31 33 17 47 46 20 21 43 42 24 9 55 54 12 13 51 50 16 64 2 3 61 60 6 7 57 2080 : 8 = 260
Квадрат Луны Печать Луны (Sigillum Lune) имеет параметры : 9, 81, 369, 3321 (размер 9х9, 81 ячейка, сумма по направлениям — 369, сумма всех чисел — 3321). 37 78 29 70 21 62 13 54 5 6 38 79 30 71 22 63 14 46 47 7 39 80 31 72 23 55 15 16 48 8 40 81 32 64 24 56 57 17 49 9 41 73 33 65 25 26 58 18 50 1 42 74 34 66 67 27 59 10 51 2 43 75 35 36 68 19 60 11 52 3 44 76 77 28 69 20 61 12 53 4 45 3321 : 9 = 369
Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл. Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетияА. К. Дьюдени «Просеивание числового песка в поисках простых чисел »:
67 1 43 13 37 61 31 73 7 3 61 19 37 43 31 5 41 7 11 73 29 67 17 23 13
Есть еще несколько подобных примеров:
17 89 71 113 59 5 47 29 101 1823821809811797192931331233789832117964163161970961753437399722710310719355771972760713975728122365349919710911356347917376158715736737952138324146725726326916760159934935935364738933131731140930729344950352323333754739742117401271431433229491373487461251443463137439457283509199735413471911815695775711635936611016432396917011271311796132771516596736776837167614759743733418273751311787769773419149751
Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н. Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.
Квадраты с дополнительными свойствами
Пандиагональный магический квадрат Пандиагональный или дьявольский квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях.
Существует 48 дьявольских квадратов 4×4 в — с точностью до поворотов и отражений. Пандиагональный квадрат сохраняет свойства при параллельном переносе строк или столбцов. Поэтому единицу можно переместить в левый верхний угол. Таких пандиагональных квадратов на плоскости 12. Они приведены ниже: 1 8 10 15 14 11 5 4 7 2 16 9 12 13 3 6 1 8 10 15 12 13 3 6 7 2 16 9 14 11 5 4 1 12 7 14 15 6 9 4 10 3 16 5 8 13 2 11 1 14 7 12 15 4 9 6 10 5 16 3 8 11 2 13 1 8 13 12 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12 14 11 2 7 4 5 16 9 15 10 3 6 1 12 13 8 14 7 2 11 4 9 16 5 15 6 3 10 1 12 13 8 15 6 3 10 4 9 16 5 14 7 2 11 1 8 11 14 15 10 5 4 6 3 16 9 12 13 2 7 1 8 11 14 12 13 2 7 6 3 16 9 15 10 5 4 1 14 11 8 15 4 5 10 6 9 16 3 12 7 2 13 1 12 6 15 14 7 9 4 11 2 16 5 8 13 3 10
На торе каждой четвёрке таких квадратов соответствует один квадрат. Это происходит потому, что если разрезать тор, начиная с единичной клетки как угловой, то это можно сделать четырьмя способами, сопоставляя каждому из четырёх углов единичной клетки угол плоского квадрата. Поэтому пандиагональных квадратов на торе всего 3. Для изображения торического квадрата на плоскости можно использовать любой из соответствующей ему четвёрки.
Пандиагональные квадраты существуют для нечётного порядка n>3, для любого порядка двойной чётности n=4k (k=1,2,3…) и не существуют для порядка одинарной чётности ().
Пандиагональные квадраты четвёртого порядка обладают рядом дополнительных свойств, за которые их называют совершенными. Совершенных квадратов нечётного порядка не существует. Среди пандиагональных квадратов двойной чётности выше 4 имеются совершенныеН.Макарова «Совершенные магические квадраты ».
С учётом торических параллельных переносов имеется 144 различных пандиагональных квадратов. Один из них показан ниже.
1 15 24 8 17 9 18 2 11 25 12 21 10 19 3 20 4 13 22 6 23 7 16 5 14
Если пандиагональный квадрат ещё и ассоциативный, то он носит название идеальныйГ.Александров «Идеальные магические квадраты порядка , где ». Пример идеального магического квадрата:
21 32 70 26 28 69 22 36 65 40 81 2 39 77 7 44 73 6 62 10 51 58 18 47 57 14 52 66 23 34 71 19 33 67 27 29 4 45 74 3 41 79 8 37 78 53 55 15 49 63 11 48 59 16 30 68 25 35 64 24 31 72 20 76 9 38 75 5 43 80 1 42 17 46 60 13 54 56 12 50 61
Известно, что не существует идеальных магических квадратов порядка n = 4k+2 и квадрата порядка n = 4. В то же время существуют идеальные квадраты порядка n = 8. Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9…и порядка n = 8^p, p=2,3,4… В 2008 г. разработан комбинаторный метод построения идеальных квадратов порядка n = 4k, k = 2, 3, 4,…
Построение магических квадратов
Метод террас Описан Ю. В. Чебраковым в «Теории магических матриц».
Для заданного нечетного n начертим квадратную таблицу размером n на n. Пристроим к этой таблице со всех четырех сторон террасы (пирамидки). В результате получим ступенчатую симметричную фигуру.
453410239151281420017131925-16121824-2111723-31622-421.432101234
Начиная с левой вершины ступенчатой фигуры, заполним её диагональные ряды последовательными натуральными числами от 1 до .
После этого для получения классической матрицы N-го порядка числа, находящиеся в террасах, поставим на те места таблицы размером NxN, в которых они оказались бы, если перемещать их вместе с террасами до того момента, пока основания террас не примкнут к противоположной стороне таблицы.
43231692215120821142072513119-124125186-2114171023-3-4.-4-3-2-101234
31692215208211427251311924125186114171023 Кроме того, данный способ является верным и в том случае, если магический квадрат нужно составить не из чисел от 1 до N, но и от K до N, где 1 <= K< N.
Прочие способы Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.Н. Макарова «Методы построения магических квадратов (обзорная статья) » Найти все магические квадраты порядка удается только для , поэтому представляют большой интерес частные процедуры построения магических квадратов при . Проще всего конструкция для магического квадрата нечетного порядка. Нужно в клетку с координатами (где и меняются от 1 до ) поставить число (Примечание: данная формула верна для всех квадратов нечётного порядка, кроме квадратов вида .