Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии: Формулировка Пусть и — компактные выпуклые тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского , , то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств и в отношении к . Тогда функция
есть вогнутая функция от .
Более того, функция линейна в том и только в том случае, когда и гомотетичны.
Замечания Неравенство легко выводится из своего частного случая
для любых компактных выпуклых тел и — в n-мерном пространстве.
Следствия Изодиаметрическое неравенство: В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём. Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу и к его центральносимметричной копии . Теорема Линделёфа о многограннике: Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.
История Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским, обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником.
Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера. Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман.H. Hadwiger and D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie, Math. Zeit. 66 (1956), 1–8 В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим. Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов. Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.
Вариации и обобщения
Неравенство Александрова — Фенхеля — неравенство на смешанный объём, которое влечёт неравенство Брунна — Минковского.
Литература
В. Бляшке, Круг и шар. : Наука, 1967.
Категория:Выпуклая геометрия Категория:Неравенства Категория:Герман Минковский Б