Теорема Бруна утверждает, что сумма чисел, обратных числам-близнецам (парам простых чисел, которые отличаются лишь на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Бруна, которая обозначается как B2 (). Теорему Бруна доказал Вигго Брун в 1919 году, и она имеет историческое значение для методов решета.
Асимптотические границы чисел-близнецов Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности плотности последовательности чисел-близнецов. Пусть означает число простых чисел, для которых p + 2 тоже является простым (то есть является числом чисел-двойников, не превосходящих x). Тогда для мы имеем
То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель. Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют . Сумма в явном виде
либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.
Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна иррациональна только в случае бесконечного числа чисел-двойников.
Числовые оценки При вычислении чисел-двойников вплоть до 1014 (и обнаружении по пути ошибки Pentium FDIV), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578. Найсли расширил вычисления до 1,6 к 18 января 2010 года, но это не было самое большое вычисление этого типа.
В 2002 году Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 1016 и получили оценку
B2 ≈ 1,902160583104.
Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 1016. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что B2 < 2,1754 в предположении, что верна расширенная гипотеза Римана, и что B2 < 2,347 безотносительно верности расширенной гипотезы Римана.
Существует также константа Бруна для квадруплетов близнецов. — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая B4, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:
И эта сумма равна
B4 = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 % (согласно Найсли).
Эту константу не следует путать с константой Бруна для , пар простых чисел вида (p, p + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B4.
Дальнейшие результаты Пусть () — константа простых-близнецов. Есть гипотеза, что
В частности,
для любого и всех достаточно больших x.
Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны. Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого x, , где 4,5 соответствует случаю выше.
В популярной культуре Цифры константы Бруна были использованы в заявке в $1.902.160.540 на патентном аукционе Nortel. Заявка была опубликована компанией Google и была одной из трёх заявок Google, основанных на математических константах.
См. также Ряд обратных простых чисел Константа Майсселя — Мертенса
Примечания
Литература
Перепечатано в Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990. Содержит более современное доказательство.
В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.
Ссылки
Sebah, Pascal and Xavier Gourdon, Introduction to twin primes and Brun's constant computation, 2002. A modern detailed examination. Wolf's article on Brun-type sums
Категория:Теоремы о простых числах Категория:Теория решета