数学の関数解析学、特にバナッハ空間の幾何学（幾何学的バナッハ空間論）において、ロバーツ直交（ロバーツちょっこう、）とは、内積を持たない一般のノルム空間（バナッハ空間）において、ベクトルの直交性を一般化した概念の一つである。
1934年に数学者のB・D・ロバーツ（B. D. Roberts）によって導入されたRoberts, B. D. (1934). On the geometry of abstract vector spaces. *Tohoku Mathematical Journal*, First Series, 39, 42–59.。ノルム空間における直交性の一般化としては最初期に考案されたものの1つである。
動機 ヒルベルト空間（または内積空間）において、2つのベクトル が直交すること（）は、任意の不変スカラー倍 に対しても、和のノルムと差のノルムが常に等しいこと、すなわち
と同値である。幾何学的には、スカラー倍されたベクトル に対し、 を中心とする対称な位置関係（等脚性）が常に保たれることを意味する。
等脚直交（）は特定のスカラー（）のみに関する条件であるが、ロバーツはこれをすべてのスカラー に対する条件へ強めることで、内積空間の直交性が持つ対称性と斉次性を同時に保存する直交概念としてロバーツ直交を定義した。
定義 （ または ）上のノルム空間 の要素 に対し、 が にロバーツ直交する（Roberts orthogonal）とは、すべてのスカラー に対して次が成立することをいい、 と表記する：
主要な性質 ロバーツ直交性は、一般のノルム空間における直交概念の中で非常に強い条件を要求するため、以下のような優れた代数的性質を持つ。
対称性（Symmetry）: 任意の に対して常に対称性が成り立つ：
斉次性（Homogeneity）: 任意の不変スカラー に対して斉次性が成り立つ：
これは等脚直交が斉次性を欠き、バーコフ＝ジェームズ直交が対称性を欠くことと対照的であり、ロバーツ直交は対称性と斉次性の双方を満たす数少ない直交概念である。
存在性と条件の厳しさ ロバーツ直交は条件が非常にきついため、一般のバナッハ空間においては「非ゼロなベクトル に対し、 を満たす非ゼロベクトル がまったく存在しない」という現象が起こり得る。
内積空間の特徴付け: 次元が 3 以上のバナッハ空間 において、任意の非ゼロベクトル に対して少なくとも1つの非ゼロなロバーツ直交元 （）が存在するための必要十分条件は、 がヒルベルト空間（内積空間）であることである。
他の直交概念との比較 ノルム空間における主要な直交概念とのインクルージョン関係は以下の通りである：
ロバーツ直交と等脚直交: 定義より明らかに、ロバーツ直交すれば等脚直交する（）。 ロバーツ直交とバーコフ＝ジェームズ直交: ロバーツ直交すればバーコフ＝ジェームズ直交する（）。
次元が 3 以上のノルム空間において、ロバーツ直交がバーコフ＝ジェームズ直交や等脚直交と常に一致するための必要十分条件は、その空間がヒルベルト空間であることである。
脚注
関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 ヒルベルト空間 直交 バーコフ＝ジェームズ直交 等脚直交
参考文献