数学の関数解析学、特にバナッハ空間の幾何学（幾何学的バナッハ空間論）において、ピタゴラス直交（ピタゴラスちょっこう、）とは、内積を持たない一般のノルム空間（バナッハ空間）において、ベクトルの直交性を一般化した概念の一つである。
1945年にによって導入されたJames, R. C. (1945). Orthogonality in norm-linear spaces. *Duke Mathematical Journal*, 12(2), 291–302.。
動機 ヒルベルト空間（または内積空間）において、2つのベクトル が直交すること（）は、それらの和のノルムの2乗がそれぞれのノルムの2乗の和に等しいこと、すなわちピタゴラスの定理の等式：
が成立することと同値である。
しかし、一般のバナッハ空間やノルム空間には内積が存在しないため、内積がゼロであることを通じて直交性を定めることはできない。ジェームズはこの「ピタゴラスの関係式」そのものを、一般のノルム空間における直交性の定義として採用した。
定義 ノルム空間 の要素 に対し、 と がピタゴラス直交する（Pythagorean orthogonal）とは、次が成立することをいい、 と表記する：
主要な性質 ピタゴラス直交性は、幾何学的直感に合致する直観的な等式に基づいているものの、一般のノルム空間ではスカラー倍に対して閉じないなどの独特な性質を示す。
対称性（Symmetry）: 定義の可換性より明らかに、任意の に対して常に対称性が成り立つ：
これはバーコフ＝ジェームズ直交が一般のノルム空間で非対称となることと対照的である。
非斉次性（Non-homogeneity）: 一般のノルム空間では、 であっても、任意の非ゼロスカラー に対して が成り立つとは限らない。
内積空間の特徴付け ピタゴラス直交性がスカラー倍に対して閉じること（斉次性）は、空間の内積構造の存在と密接に関わっている。
次元が 2 以上のノルム空間 において、「 が任意の およびスカラー に対して成り立つ」ための必要十分条件は、 がヒルベルト空間（内積空間）であることである。
他の直交概念との比較 ノルム空間における主要な直交概念には、ピタゴラス直交のほかに以下のようなものが存在する。
バーコフ＝ジェームズ直交 (): （すべてのスカラー ）。斉次性を満たすが一般に非対称。 等脚直交 (): 。対称性を満たすが一般に非斉次的。 ロバーツ直交 (): （すべてのスカラー ）。対称性と斉次性の双方を満たすが条件が非常に厳しい。
次元が 3 以上のノルム空間において、ピタゴラス直交がバーコフ＝ジェームズ直交や等脚直交と常に一致するための必要十分条件は、その空間がヒルベルト空間であることである。
脚注
関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 ヒルベルト空間 直交 ピタゴラスの定理 バーコフ＝ジェームズ直交 等脚直交 ロバーツ直交
参考文献