thumb|Luonnollisia lukuja voidaan käyttää asioiden lukumäärän ilmoittamiseen (yksi omena, kaksi omenaa, kolme omenaa,...) Luonnolliset luvut muodostavat lukujoukon , mutta joskus mukaan otetaan pienimmäksi luvuksi nolla eli .
Luonnollisia lukuja ovat tavalliset arkipäiväiset luvut, joilla ilmaistaan lukumäärää ("minulla on kuusi omenaa") tai sijoittumista ("tulin kolmantena maaliin"). Nykyään on tavallista nimittää eli nominalisoida kohteita numeroilla ("tulin ensin bussilla 32 ja vaihdoin sitten 6:een"). Positiivisten kokonaislukujen yhteenlaskeminen perustuu luonnollisiin lukuihin, josta matematiikan moninaisuus on alkujaan lähtöisin.
Käyttö Luonnollisilla luvuilla on kolme päätarkoitusta. Niillä ilmaistaan kohteiden lukumääriä eli kardinaalia sanomalla esimerkiksi "pöydällä on kolme omenaa". Luvuilla voidaan nimetä asioita kuten esimerkiksi bussilinjat numeroilla ("linja 32"). Vielä luvuilla voidaan ilmaista järjestystä eli ordinaalia. Esimerkiksi urheilussa ilmaistaan maalintulojärjestys kirjaamalla nopeimmalle numero yksi, toiseksi nopeimmalle numero 2 ja niin edelleen. Myös asioimisen vuoronumerot ovat ordinaalilukuja.
Lukujen ilmaiseminen ja laskeminen Kielissä on erilliset nimet eli lukusanat pienille luvuille. Suomen kielessä nämä kardinaalilukusanat ovat yksi, kaksi, kolme, ..., yhdeksän ja kymmenen. Järjestysluvuilla on monissa kielissä eri nimet. Suomessa nämä ordinaalilukusanat ovat ensimmäinen, toinen, kolmas, ..., yhdeksäs ja kymmenes. Suuremmat kymmenjärjestelmän luvut ilmaistaan yhdistelemällä kymmenluvut ja yksikköluvut toisiinsa. Esimerkiksi luku 23 sanotaan kaksikymmentä kolme. Suuremmissa luvuissa otetaan käyttöön omat lukusanat, vaikka lukujen numeraaliset merkinnät säilyttävät yksinkertaisuutensa.
Muinoin, mikä lukujen historiassa tarkoittaa kivikautta, kun eri ihmisryhmät puhuivat tuhansia erilaisia kieliä, kaupankäynnissä lukumäärien ilmaisemiseen on varmasti käytetty erilaisia universaaleja tapoja. Vieläkin eri kansat ilmaisevat sormillaan, käsillään ja muilla viittomilla numeroita ja lukumääriä. Helpoimpia ymmärtää ovat sormimerkit, mutta käytössä on edelleen lukusanojen viittomia, joilla voi ilmaista tuhansia ellei suurempiakin lukuja.
Sormilla myös lasketaan, sillä luvun muistaminen sormien asennoista on kätevää. Sormet ja maahan piirretyt apuviivat auttavat suurtenkin lukujen yhteenlaskemisessa. Tiedetään kuitenkin, että laskemisessa on käytetty runsaasti erilaisia apuvälineitä. Yleisin apuväline ovat olleet pussillinen pikkukiviä tai siemeniä, joilla lukumäärät tai laskettavat luvut muistetaan laskuoperaation aikana. Antiikin kreikkalaiset käyttivät laskutauluja, kiinalaiset helmitauluja ja laskusauvoja ja niin edelleen. Myös mekaanisia koneita on käytetty laskutoimituksien apuna. Nykyiset elektroniset laskimet ovat kuitenkin syrjäyttäneet edellä mainitut menetelmät.
Lukujen ominaisuuksia Lukuteoria tutkii luonnollisten lukujen syvällisempiä ominaisuuksia kuten esimerkiksi alkulukujen jakaumaa. Nämä ominaisuudet ovat perusteltavissa logiikan avulla.
Lukuihin liitetään myös muita ominaisuuksia. Muinaiset kreikkalaiset pythagoralaiset kirjoittivat perinteitään muistiin ja uskoivat itsekin luvuilla oleviin mystisiin ja kosmisiin ominaisuuksiin. Taikauskon lisäksi monet pääuskonnoista sisältävät erilaisia lukuihin perustuvia rituaaleja. Tiedetään myös, että luvut ovat olleet osana uskonnollisten menojen harjoittamisessa useissa luonnonuskonnoissa.
Lukujoukko Lukujoukkojen intuitiivinen perusta Luonnollisia lukuja käsitetään intuitiivisesti lukumääriä ilmaisevaksi lukujoukoksi. Se, kuuluuko luku nolla luonnollisiin lukuihin, vaihtelee tämän takia tarpeen mukaan. Nollan puuttuminen joukosta yksinkertaistaa joitakin laskulakeja, toisinaan sitä tarvitaan joskus yksinkertaistamaan niitä. Jos nolla kuuluu joukkoon, merkitään joukkoa , ja ellei, sitä merkitään tai . Joukkoa on kutsuttu myös käsitteellä epänegatiiviset kokonaisluvut.
Lukujoukkojen matemaattinen perusta Eräät lukuteoreetikot ovat vaatineet, että luonnollisten lukujen olemassaolo tulee hyväksyä aksiomaattisesti samalla tavalla kuin Euklides menetteli antiikin Kreikassa geometrian osalta teoksessaan Alkeet. Kuuluisin tällainen aksiomaattinen määritelmä on Peanon aksioomat. Monet lukujen ominaisuudet voidaan todistaa käyttämällä vain Peanon aksioomia.
Tästä huolimatta, ilmeisesti joukko-opin tulosten innoittamina, myös Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell ponnistelivat vuosia luodakseen filosofisesti ja loogisesti ehyen rakenteen luonnollisten lukujen olemassaolon ja luonteen perustelemiseksi. He julkaisivat ajatuksensa teoksessaan Principia Mathematica, mutta koska luonnollisten lukujen oppirakennelmasta tuli monimutkainen he totesivat tämän yrityksen epäonnistuneen.
Kun nykyään esitetään luonnolliset luvut rekursiivisena prosessina, jossa, lähtien liikkeelle pienimmästä luonnollisesta luvusta (joko 0 tai 1), jokaiselle luonnolliselle luvulle muodostetaan seuraaja yhdisteen avulla. Jos ensimmäiseksi luonnolliseksi luvuksi valitaan nolla, sitä merkitään silloin tyhjällä joukolla
Nollan seuraaja on yksi, joka muodostetaan ottamalla nollaa identifioiva tyhjä joukko ykköstä identifioivaan joukkoon jäseneksi
Luku kaksi muodostetaan ykkösestä yhdistämällä tyhjä joukko ykköstä identifioivaan tyhjän joukon joukkoon, ja niin edelleen
. Koska rekursion alussa nollaa edusti tyhjä joukko, tulee ykköstä edustaa eli sen edeltäjä, kakkosta eli edeltäjä ja nolla, kolmosta eli edeltäjä ja nolla, ja niin edelleen.
Käyttämällä konstruktiossa alkioina tyhjiä joukkoja (eli ei mitään) voitiin lähes humoristisesti korostaa sitä, ettei lukumäärien esittämiseen tarvita konkreettisia esineitä tai asioita. Samalla korostuu se intuitiivinen lähestymistapa, että jokaisella luonnollisella luvulla on aina seuraaja.
Järjestetty joukko Koska luonnolliset luvut edustavat määrää, on se luonnostaan järjestetty joukko, jossa järjestysrelaatiolla voidaan ilmaista luonnollisten lukujen kaksi tärkeintä ominaisuutta. Kun kaksi lukua verrataan, saadaan aina joko tai tai . Tätä ominaisuutta kutsutaan trikotomiaksi. Jos tarkastellaan kolmea luonnollista lukua, joille pätee ensin ja , niin silloin voidaan päätellä myös, että . Tätä ominaisuutta kutsutaan transitiivisuudeksi. Järjestysrelaation toiminnasta johtuu se, että luonnolliset luvut, ja kaikki sen osajoukot, ovat hyvinjärjestetty lukujoukko.
Luonnollisten lukujen algebra Seuraavat laskutoimitukset ovat voimassa luonnollisilla luvuilla. Olkoot . Tällöin voidaan laskea yhteen- ja kertolaskuja vaihtoehtoisesti seuraavilla tavoilla:
yhteenlaskun liitäntälaki kertolaskun liitäntälaki yhteenlaskun vaihdantalaki kertolaskun vaihdantalaki osittelulaki jos luku 0 kuuluu joukkoon, se on yhteenlaskun neutraalialkio luku 1 on kertolaskun neutraalialkio
Luonnollisten lukujen joukko on laskutoimituksen suhteen suljettu, jos kahden luvun tulos kuuluu luonnollisiin lukuihin. Yhteenlaskun suhteen näin onkin, sillä kahden luvun ja summa on aina edellisiä suurempi luku ja kuuluu siten luonnollisiin lukuihin. Sama ominaisuus on kertolaskullakin. Tämän vuoksi lukujoukko on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen.
Edelleen, koska molemmat laskutoimitukset ovat assosiatiivisia eli toteuttavat liitännäislain, sanotaan, että on yhteenlaskun suhteen ja kertolaskun suhteen puoliryhmä. Jos joukkoon luetaan mukaan nolla eli yhteenlaskun neutraalialkio, kutsutaan puoliryhmää monoidiksi. Kertolaskun suhteen on jo monoidi, koska sen ykkösalkio luku 1 kuuluu jo luonnollisiin lukuihin.
Mahtavuus Käytännön laskemisessa luonnollisia lukuja käytetään asioiden luettelointiin ja määrien ilmaisemiseen. On siis olemassa suurin luku, jota tähän tarvitaan. Matematiikassa kuitenkin oletetaan, että luku voi olla kuinka suuri hyvänsä, sillä jo yhteenlasku summaa suuret luvut suuremmiksi luvuiksi. Filosofiselta kannalta onkin järkevää sallia lukujen lukumäärän äärettömyys, koska näin lukuteoria yksinkertaistuu.
Joukko-opin luoja Georg Cantor tutki lukujoukkojen lukumääriä ja huomasi lukujoukkojen olevan "eri kokoisia". Esimerkiksi luonnollisia lukuja oli vähemmän kuin reaalilukuja, vaikka molempia on ääretön määrä. Syy tähän eroon on se, että reaalilukuja on runsaasti luonnollisten lukujen välissäkin. Cantor kutsui lukujoukon kokoa sanalla mahtavuus. Hän vertasi muiden lukujoukkojen mahtavuutta luonnollisten lukujen mahtavuuteen, jonka hän nimesi .
Luonnollisten lukujen lisäksi löytyy lukuisia joukkoja, joiden mahtavuus on sama . Tällaisia ovat esimerkiksi kokonaisluvut ja rationaaliluvut. Myös parilliset luvut on yhtä mahtava joukko, kuin kaikki luonnolliset luvut.
Mahtavuuksia verrataan luettelemalla luonnollisten lukujen rinnalle vertailujoukon lukuja pareiksi. Jos havaitaan, että luettelointia voi jatkaa kummankin joukon avulla äärettömän monta kertaa, ovat lukujoukot yhtä mahtavia. Esimerkiksi parillisia lukuja verrataan siten, että sen pienin luku 2 kytketään luonnollisten lukujen pienimpään lukuun 1, parillisten seuraava 4 kytketään luonnollisten 2:een, parillisten 6 kytketään luonnollisten 3:een, ja niin edelleen. Tätä jatketaan äärettömän monta kertaa, mikä on mahdollista, koska kumpaakin lukujoukkoa on ääretön määrä. Tämän jälkeen todetaan vain, että kumpikin joukko on yhtä mahtava. Vertailua kutsutaan lukujoukon numeroimiseksi ja parillisia lukuja on numeroituvasti ääretön määrä.
Aritmeettinen tiheys Vaikka parilliset luvut ovat yhtä mahtava lukujoukko kuin kaikki luonnolliset luvut, on niitä kuitenkin "vähemmän". Tämä voidaan havainnollistaa aritmeettisellä tiheydellä. Koska joka toinen luku on parillinen luku, on niiden tiheys 0,5.
Historiallisesti merkittäviä osajoukkoja Lukujen mystiikka on maailmanlaajuinen ja ikiaikainen ilmiö, jonka puitteissa luonnolliset luvut olivat osana riittejä ja uskonnollista palvontaa sekä elementtinä taikauskossa. Ehkäpä näistä perinteistä juontaa juurensa esimerkiksi helleenisten kreikkalaisten kiinnostus numerologiaan, joita muun muassa pythagoralaiset tutkivat. Näistä perinteistä kertyi riittävästi tietoa lukujen ominaisuuksista, johon lukuteoria perustuu.
Lukujen jako parillisiin ja parittomiin on varmasti ikivanha. Parillisuuden määritelmä on Euklideen mukaan "... jos se voidaan puolittaa. Paritonta lukua ei voida puolittaa tai se eroaa yhdellä parillisesta luvusta".
Kuvioluvut on muodostavat ryhmän figuratiivisia lukuja. Jos lukua vastaava määrä kiviä voidaan asettaa kolmioksi (kolmioluku), neliöksi (neliöluku), viisikulmioksi (viisikulmioluku) ja niin edelleen, on kyseessä kuvioluku.
Alkuluvut ovat lukuja, jotka ovat jaollisia vain itsellään tai ykkösellä. Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää tekijöiden tulona ja erityisesti jokainen luku voidaan esittää alkulukujen tulona. Myös näitä pythagoralaiset tutkivat jo varhain.
Paljon on tutkittu myös ystävällisiä, täydellisiä, runsaita ja vajaita lukuja sekä taikaneliöitä ja Pythagoraan kolmikoita.
Historia Luvut ihmisten historiassa Luonnolliset luvut ovat helppoutensa vuoksi ensimmäiset koululaisille opetettavat luvut. Kun niillä on opittu operoimaan ja sitten tulkitsemaan operaatioiden antamia vastauksia, laajennetaan lukukäsitystä myös negatiivisiin lukuihin. Osalle oppilaista luonnolliset luvut ovat jo kouluun tullessa tuttuja, joten laskeminen saattaa ihmisellä olla synnynnäinen taito. Havainnot eläimillä antavat olettaa, että lukumäärien havaitseminen on evoluutiossa vanha ilmiö. Apinoilla on havaittu varsin hyvä lukumäärien arviointikyky, joka liittyy ainakin näköaistiin. Myös mehiläiset osaavat laskea jopa viiteen.