В математиката множеството представлява съвкупност от различни обекти, наричани още елементи, която се разглежда като едно цяло.РБЕ Елементите в множествата не могат да се повтарят и не са подредени по специален ред. Множествата са едни от най-важните обекти в математиката, въпреки че са въведени за първи път едва в края на XIX век. Математическата дисциплина, която разглежда изучаването на тяхната структура и свойства, се нарича теория на множествата. Цялата съвременна математика се изгражда логически на нейна основа.
Определения Интуитивно, множеството представлява съвкупност от предмети. Предметите се наричат негови елементи и се казва, че принадлежат на множеството. Например, числото 1 е елемент на множеството на естествените числа, София принадлежи на множеството на всички световни столици.
Наредбата на елементите и броят на срещанията на даден елемент в множеството са без значение. Две множества A и B са равни, когато имат едни и същи елементи (тоест всеки елемент на A е елемент и на B и обратно). С теоретично значение се въвежда понятието празно множество, което представлява множество без елементи.
Горната дефиниция не е напълно коректна, защото използва понятието съвкупност, без да го дефинира. Всеки опит за точно дефиниране на съвкупност би довел до кръгова дефиниция. Поради това в математиката понятията множество и принадлежи се приемат за първични и не се дефинират строго. Всички други математически понятия могат да бъдат строго дефинирани, използвайки само тези два термина. Например елемент на множеството A се дефинира като всяко множество B, което принадлежи на A.
Подмножество
Множеството се нарича подмножество на множеството , когато всеки елемент на е елемент и на .Подмножество в РБЕ Това означава, че от следва , както и че от следва . Когато е подмножество на , се пише или .
Празно множество
Празното множество въобще няма елементи и поради това е ясно, че за всеки обект е в сила . Празното множество е подмножество на всяко множество – изпълнено е включването за всяко множество .
Описание
Едно множество се описва по два начина – с изброяване на елементите му или със задаване на условие, което те удовлетворяват.
Свойства Равенство Две множества са равни тогава и само тогава, когато всеки елемент на едното е елемент и на другото.
Крайност и безкрайност Едно множество се нарича крайно, ако то съдържа n на брой елемента, където n е естествено число (може да бъде и 0). В противен случай, множеството се нарича безкрайно (виж. също дефиниция на безкрайно множество по Дедекинд).
Равномощност Две множества се наричат равномощни, когато съществува взаимноеднозначно изображение между тях. Например в случая на множества с краен брой елементи това означава те да съдържат равен брой елементи.
Изброимост Едно безкрайно множество се нарича изброимо, когато е равномощно на множеството на естествените числа.
Действия с множества
Сечение () Под сечение на две множества А и В разбираме множеството и .
За операцията сечение на множестваважат комутативният и асоциативният закон;
.
.
Обединение () Под обединение на две множества А и В се разбира множеството или .
За действието обединение важат комутативния и асоциативният закон:
- .
- .
Между операциите обедиенение и сечение важат дистрибутивните закони (разместителното свойство в математиката):
- .
- .
+
Вижте също Размито множество Дискретна математика
Източници
Категория:Теория на множествата Категория:Топология