Лік (таксама лік Эйлера або пастаянная Непера) — важная матэматычная пастаянная, якая акрамя іншага з'яўляецца асновай натуральнага лагарыфма. Звычайна ў курсах матэматычнага аналізу пастаянную азначаюць як граніцу паслядоўнасці
пры імкненні да бесканечнасці. Такі выраз ўзнікае пры вывучэнні складанага працэнта.
Эйлераў лік можна вылічыць і як суму бесканечнага радаEncyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
Пастаянную можна вызначыць мноствам спосабаў. Напрыклад, іншы раз за азначэнне бяруць наступны факт: — адзіны рэчаісны лік, такі што вытворная (нахіл датычнай прамой) функцыі у пункце роўная 1. Функцыя , вызначаная такім чынам, называецца экспаненцыяльнай функцыяй (або натуральнай паказчыкавай функцыяй), адваротнай да яе функцыяй з'яўляецца лагарыфм па аснове — т.зв. натуральны лагарыфм. Натуральны лагарыфм дадатнага ліку можна таксама вызначыць напрамую, як плошчу пад крывой , якая заключана паміж значэннямі аргумента і . Лік — такі лік, натуральны лагарыфм якога роўны 1. Ёсць і іншыя іншыя азначэнні.
Пастаянную часам называюць Эйлеравым лікам у гонар швейцарскага матэматыка Леанарда Эйлера (не блытаць з — пастаяннай Эйлера-Маскероні, якую іншы раз называюць проста пастаяннай Эйлера). Лік таксама вядомы як пастаянная Непера, бо першыя вядомыя ўпамінанні гэтага ліку былі знойдзены ў працах Джона Непера, які выкарыстоўваў гэты лік у якасці асновы лагарыфмаДакладней кажучы, Непер у сваіх табліцах лагарыфмаў у якасці асновы няяўна карыстаўся лікам, прыблізна роўным . Падрабязней гл. кнігу Eli Maor. e: The Story of a Number. pp. 8-10.. Абазначаць лік літарай пачаў Эйлер. Лік мае вялікае значэнне ў матэматыцы і па важнасці стаіць побач с такімі лікамі як 0, 1, і ўяўная адзінка . Усе пяць лікаў сустракаюцца, мабыць, ва ўсіх галінах матэматыкі. Цікава, што ўсе яны ўваходзяць у тоеснасць Эйлера:
Як і пастаянная , — ірацыянальны лік: г.зн. яго нельга запісаць у выглядзе дзелі двух цэлых лікаў. Больш таго, ён трансцэндэнтны: г.зн. не існуе ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якога лік быў бы коранем.
Лікавае значэнне з дакладнасцю 50 дзесятковых знакаў пасля коскі: ().
Гісторыя Першыя ўскосныя ўпамінанні Эйлерава ліку сустракаюцца ў табліцах ў дадатку Неперавай працы па лагарыфмах, апублікаванай у 1618 годзе. Праца ўтрымлівала не саму пастаянную, а проста спіс лагарыфмаў, вылічаных па аснове, прыблізна роўнай . Мяркуюць, што табліцу напісаў Уільям Оўтрэд. Адкрыццё самой пастаяннай прыпісваецца Якабу Бернуллі, які спрабаваў знайсці значэнне граніцы (якая раўняецца ):
Першыя вядомыя прамыя ўпамінанні пастаяннай Непера былі знойдзены ў пісьмах Лейбніца да Гюйгенса ў 1690 і 1691 гг. Там Лейбніц карыстаецца пастаяннай і абазначае яе літарай . Леанард Эйлер ужыў літару для абазначэння асновы натуральных лагарыфмаў у пісьме да Хрысціяна Гольдбаха 25 лістапада 1731 года. Эйлер пачаў абазначаць пастаянную літарай недзе ў 1727 ці 1728 годзе, у неапублікаванай працы па выбуховых сілах у гарматах,Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta., а першым з'яўленнем ў публікацыі была Эйлерава Mechanica (1736). І хоць у наступныя гады некаторыя даследчыкі абазначалі лік літарай , абазначэнне было больш распаўсюджаным і ў выніку стала агульнапрынятым.
Прымяненні Складаны працэнт
Якаб Бернулі адкрыў пастаянную, рашаючы задачу аб складаным працэнце:
Пачатковая сума на рахунку $1.00, працэнтная стаўка па ўкладу складае 100% гадавых. Калі працэнты налічваюцца адзін раз у канцы года, сума на рахунку ў канцы года стане $2.00. Што адбудзецца, калі на працягу года працэнты налічваюцца на рахунак больш часта? (Пры гэтым налічаны на рахунак даход таксама пускаецца ў абарот пад тыя ж працэнты).
Калі працэнты пераводзяцца на рахунак двойчы ў год, сума будзе прырастаць на 50% кожныя 6 месяцаў, і такім чынам пачатковы $1 дамнажаецца на 1.5 двойчы, даючы $1.00×1.52 = $2.25 у канцы года. Паквартальнае накапленне дае $1.00×1.254 = $2.4414..., а штомесячнае накапленне дае $1.00×(1+1/12)12 = $2.613035... Калі ёсць прамежкаў накаплення, працэнт на кожным прамежку будзе і сума ў канцы года складзе $1.00×.
Бернулі заўважыў, што гэта паслядоўнасць прыбліжаецца да граніцы з ростам і, адпаведна, са здрабненнем прамежкаў налічэння. Штотыднёвае налічэнне () дае $2.692597..., тады як штодзённае налічэнне () дае $2.714567..., толькі на два цэнты больш. Граніца пры неабмежаваным нарастанні і ёсць лік, вядомы цяпер як ; пры непарыўным налічэнні, сума на рахунку дасягне $2.7182818.... У агульным выпадку, пачатковая сума на рахунку $1 і гадавы прырост даходу долей пасля гадоў дадуць у выніку долараў пры непарыўным налічэнні. (Тут — доля, а не працэнт. Так што, для 5% гадавых, .)
Выпрабаванні Бернуллі Лік ўзнікае і ў тэорыі імавернасцей. Няхай гулец робіць стаўкі ў гульнявым аўтамаце. Імавернасць выйгрышу пры адном запуску аўтамата роўная 1 на . Ігрок робіць стаўку разоў. Тады для вялікіх (напрыклад, мільёна) імавернасць, што гуляка прайграе ўсе стаўкі прыблізна раўняецца . Так, для гэта ўжэ 1/2.72.
Гэта прыклад выпрабаванняў Бернуллі. Кожны раз, калі ігрок кідае манетку ў аўтамат (робіць стаўку), шанц выйграць — адзін на мільён. Запуск аўтамата мільён разоў мадэліруецца біномным размеркаваннем, якое цесна звязана з біномам Ньютана. Імавернасць разоў выйграць пры мільёне спроб роўная:
У прыватнасці, імавернасць ні разу не выйграць () роўная:
Гэта значэнне вельмі блізкае да наступнай граніцы:
Беспарадкі Пастаянная ўзнікае і ў камбінаторыцы. Прыкладам можа служыць т.зв. задача аб беспарадках, таксама вядомая як задача разбору шапак<ref>Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability theory (published online under the GFDL), p. 85.</ref>, якою займаліся Якаб Бернуллі і П'ер Раймонд дэ Мантмор (). Вось як гучыць гэта задача: На вечарынку запрошана гасцей. У дзвярах кожны госць аддае сваю шапку дварэцкаму, які затым ложыць яе ў адну з скрынь, кожная з якіх пазначана іменем аднаго з гасцей. Але дварэцкі не знае гасцей па імёнах (а мо проста чытаць не ўмее) і таму кідае шапкі ў скрыні як папала. Задача дэ Мантмора — знайсці імавернасць таго, што ні адна'' шапка не трапіла ў патрэбную скрыню. Адказ такі:
Калі лік гасцей імкнецца да бесканечнасці, прыбліжаецца к . Больш таго, колькасць спосабаў раскідаць шапкі па каробках так, каб ні адна не папала куды трэба, для любога раўняецца ліку , акругленаму да найбліжэйшага цэлага.Knuth (1997) The Art of Computer Programming Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.
Асімптотыкі Лік натуральным чынам узнікае ў сувязі з мноствам задач, якія закранаюць асімтотыку. Выдатным прыкладам з'яўляецца формула Сцірлінга для асімптотыкі фактарыяла, куды ўваходзяць і , і :
Адсюль можна атрымаць:
Лік ў аналізе
Важнасць ліку ў аналізе тлумачыцца найперш патрэбай ажыццяўляць дыферэнцаванне і інтэграванне паказчыкавых функцый і лагарыфмаў.Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions.", pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6 Паказчыкавая функцыя агульнага выгляду мае вытворную, якая задаецца як граніца:
Самая правая граніца ў выразе не залежыць ад зменнай : яна залежыць толькі ад асновы . Калі аснова роўная , граніца раўняецца адзінцы, і такім чынам вызначаецца з ураўнення:
Адсюль відаць, што паказчыкавая функцыя з асновай асабліва зручная пры ажыццяўленні розных аперацый у аналізе. Выбар ліку ў якасці асновы паказчыкавай функцыі значна спрашчае разлікі, у якіх неабходна знаходзіць вытворную.
Выкарыстанне ліку ў якасці асновы таксама спрашчае інтэграванне і дыферэнцаванне лагарыфмічных функцый.Kline, M. (1998) Calculus: An intuitive and physical approach. Вылічым вытворную функцыі па азначэнню, г.зн. як граніцу:
дзе на апошнім кроку зроблена падстаноўка . Апошняя граніца ў гэтым ланцужку роўнасцей ізноў залежыць толькі ад асновы , і калі аснова — , граніца раўняецца адзінцы. Такім чынам,
У гэтым выпадку лагарыфм называецца натуральным і абазначаецца як . Ён зручнейшы за лагарыфмы па іншых асновах, бо пры аперацыях дыферэнцавання і інтэгравання не прыходзіцца ўсюды цягаць нязручныя множнікі выгляду .
Такім чынам, лік з дапамогай паняцця вытворнай можна вызначыць двума спосабамі. Першы з іх — прыняць, што вытворная паказчыкавай функцыі роўная , і адсюль знайсці . Другі — сказаць, што вытворная лагарыфма з асновай раўняецца і адтуль знайсці . Абодва спосабы раўназначныя і даюць аднолькавы вынік.
Іншыя азначэнні
Лік можна вызначыць і іначай: як граніцу паслядоўнасці, ці як суму бесканечнага рада, ці праз нейкія інтэгралы. Вышэй было прыведзена толькі два раўназначныя азначэнні (уласцівасці) ліку , а іменна:
1. Лік — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што
2. Лік — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што
Можна паказаць, што наступныя тры азначэнні раўназначныя дадзеным раней:
3. Лік — гэта граніца паслядоўнасці:
Ці граніца функцыі:
4. Лік — гэта сума бесканечнага рада
дзе — фактарыял ліку .
5. Лік — адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што
Уласцівасці Аналіз Паказчыкавая функцыя мае важнае значэнне яшчэ і таму, што гэта адзіная не роўная тоесна нулю функцыя (з дакладнасцю да пастаяннага множніка), якая супадае са сваёй вытворнай
і такім чынам, яе першаісная таксама роўная:
Ступенна-паказчыкавыя функцыі
Глабальны максімум функцыі
дасягаецца ў . Гэтак жа, — пункт, дзе дасягаецца глабальны мінімум функцыі
вызначанай для дадатных .
Больш агульна, будзе пунктам глабальнага мінімума функцыі
для любога .
Па тэарэме Леанарда Эйлера, бесканечная ступенная вежа
або ∞
збягаецца, калі і толькі калі (або прыблізна паміж 0.0660 і 1.4447).
Тэорыя лікаў Лік ірацыянальны. Эйлер даказаў гэта, паказаўшы, што яго раскладанне ў просты непарыўны дроб бесканечнае. (Гл. таксама доказ ірацыянальнасці ліку , які даў Жан Фур'е.)
Больш таго, па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса — трансцэндэнтны лік, г.зн. ён не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Гэта быў першы лік, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, і які пры гэтым не быў адмыслова пабудаваны для гэтае мэты (як напрыклад лікі Ліувіля). Трансцэндэнтнасць ліку даказаў Шарль Эрміт у 1873 годзе.
Была выказана здагадка, што лік нармальны, г.зн. калі запісаць лік ў сістэме злічэння для адвольнай асновы, магчымыя лічбы будуць раўнамерна размеркаваны (сустракаюцца з аднолькавай імавернасцю ў любой паслядоўнасці дадзенай даўжыні).
Камплексныя лікі Паказчыкавую функцыю можна запісаць у выглядзе рада Тэйлара:
Гэты рад дазваляе выявіць мноства важных уласцівасцей функцыі , нават калі прымае камплексныя значэнні, яго звычайна выкарыстоўваюць, каб пашырыць азначэнне на ўсе камплексныя лікі. Рад для паказчыкавай функцыі разам з радамі Тэйлара для сінуса і косінуса, дазваляе вывесці формулу Эйлера:
справядлівую для ўсіх . Асобны выпадак пры — тоеснасць Эйлера:
з якой вынікае, што на галоўнай галіне лагарыфма,
Больш таго, карыстаючыся правіламі ступенявання, атрымліваем тоеснасць
якая называецца формулай Муаўра.
Дыферэнцыяльныя ўраўненні Функцыя агульнага выгляду
ёсць рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
Прадстаўленні
Лік можна задаць рознымі спосабамі: як бесканечны рад, бесканечны здабытак, непарыўны дроб, ці граніцу паслядоўнасці. Як правіла, асабліва ў курсах матэматычнага аналізу, пастаянную азначаюць як граніцу
ці як суму рада
якая атрымліваецца з вышэйзгаданага ступеннага рада для у .
Менш вядома прадстаўленне ліку непарыўным дробам (), якое атрымаў Леанард Эйлер: Hofstadter, D. R., "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995) ISBN 0-7139-9155-0
што ў звычайным запісе выглядае як:
А гэты ланцуговы дроб збягаецца ў тры разы хутчэй:
або ў разгорнутым запісе:
Вядома таксама многа іншых прадстаўленняў ліку ў выглядзе непарыўных дробаў, радоў, граніц паслядоўнасцей, бесканечных здабыткаў.
Стахастычныя прадстаўленні