Ponieważ te zdarzenia są niezależne otrzymujemy przybliżenie
Powyższą tezę można uściślić, a całkowicie elementarne oszacowanie daje
(zobacz pi i notacja dużego ), ponieważ używamy powyższej charakterystyki do uzyskania
a zauważywszy, że ostatni składnik sumy jest równy zero dla mamy
Wykorzystanie przez Arnolda Walfisza największego znanego obszaru bez zer funkcji dzeta Riemanna, który odkryli Winogradow, Korobow i Richert, umożliwiło zredukowanie maksymalnego rozmiaru błędu i mamy
dla pewnej dodatniej stałej Na podstawie hipotezy Riemanna błąd można dalej redukować, by otrzymać
Dlatego asymptotyczna gęstość liczb bezkwadratowych jest
gdzie jest funkcją dzeta Riemanna, a jest w przybliżeniu 0,6079. Dlatego ponad 3/5 liczb całkowitych jest bezkwadratowa.
Podobnie, jeśli oznacza liczbę -wolnych liczb całkowitych (wtedy na przykład 2-wolne liczby całkowite oznaczają liczby bezkwadratowe, 3-wolne liczby całkowite są bezsześcienne) między 1 i można pokazać, że
Kodowanie jako liczby binarne Jeśli przedstawimy liczby bezkwadratowe jako nieskończony produkt i jest -tą liczbą pierwszą,
wtedy możemy wziąć te i użyć ich jako bitów w liczbie binarnej z kodowaniem
Liczba bezkwadratowa 42 ma rozkład lub jest nieskończonym produktem Dlatego 42 można zakodować jako sekwencję binarną ...001011 lub dziesiętne 11.