W środku XX stulecia badania tensorów zostały przeformułowane w sposób bardziej abstrakcyjny. Traktat grupy Bourbaki Multilinear Algebra był szczególnie wpływowy – prawdopodobnie z niego pochodzi termin algebra wieloliniowa.
Jednym z powodów rosnącego wówczas zainteresowania algebra wieloliniowa był nowy obszar zastosowania, algebra homologiczna. Rozwój topologii algebraicznej w latach 40. dał dodatkowy bodziec dla rozwoju czysto algebraicznego potraktowania iloczynu tensorowego. Obliczanie grup homologicznych iloczynu dwóch przestrzeni wymaga iloczynu tensorowego; jedynie w najprostszych przypadkach, takich jak torus, jest ona bezpośrednio obliczana tym sposobem (por. teoria Künnetha). Zjawiska topologiczne były wystarczająco subtelne by wymagać lepszych koncepcji podstawowych – potrzeba było zdefiniowania funktorów Tor.