Elementów Euklidesa: Mówi się, że wielkości są w stosunku między sobą, jeśli jedna z nich zwielokrotniona, może przewyższyć drugąlub też: dla dowolnych dwóch liczb dodatnich a i b istnieje taka liczba naturalna n, że na > b, a rozwinięty został w definicji 5: Mówi się, że wielkości są w tym samym stosunku, pierwsza do drugiej i trzecia do czwartej, jeśli wziąwszy równe wielokrotności pierwszej i trzeciej oraz równe wielokrotności drugiej i czwartej, otrzymujemy zależność: gdy wielokrotność pierwszej wielkości jest większa, równa lub mniejsza od wielokrotności trzeciej wielkości, to zależność pomiędzy wielokrotnością drugiej i wielokrotnością czwartej jest taka sama. Istotą tego rozwiązania, w obliczu zaistniałego kryzysu, był fakt, że może być stosowane zarówno dla wielkości wymiernych jak i niewymiernych, a matematyka po pewnym okresie zastoju mogła się dalej rozwijać.
Bezpośrednią kontynuacją prac nad teorią proporcji było rozwinięcie tzw. metody wyczerpywania. Pomimo że pierwszy przedstawił ją w swojej pracy Demokryt z Abdery dzięki Archimedesowi wiemy, że była dziełem Eudoksosa. Polegała ona na obliczaniu pól powierzchni figur płaskich i objętości figur przestrzennych.