Francuskie czasopismo filmowe „Cahiers du cinéma” uznało Brązowego królika jednym z dziesięciu najlepszych filmów 2004 roku. Film zdobył nagrodę FIPRESCI podczas Viennale za „odważne zgłębianie pragnienia i żalu oraz za jego radykalne odejście od dominujących tendencji w obecnym kinie amerykańskim”. Film, poza sporem z Rogerem Ebertem, otrzymał także pozytywne oceny od amerykańskich krytyków. Neva Chonin z gazety „San Francisco Chronicle” nazwała obraz „ponurym filmowym poematem mogącym sfrustrować tych, którzy preferują otrzymać dwuznaczność…jak enigmatyczny zły sen, [który] nie ustępuje”.
Z kolei brytyjski dziennik „The Daily Telegraph” umieścił Brązowego królika na liście 100 „zdefiniowanych” filmów dekady, określając go „najbardziej napiętnowanym” filmem dziesięciolecia, jednocześnie stwierdzając, że „czeka go los zostania przyszłym, utraconym klasykiem”.
Promocja filmu na billboardach Brązowy królik przyciągnął także uwagę mediów w związku z promującym film billboardem postawionym w 2004 roku przy Sunset Boulevard w kalifornijskim West Hollywood. Reklama przedstawiała czarno-białe zdjęcie ze sceną oralnego seksu.
Ścieżka dźwiękowa