Hamiltonian układu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej
przy czym
gdzie: – współrzędna wektora położenia cząstki, – współrzędna wektora pędu cząstki,
Energia kinetyczna jest tutaj tylko funkcją pędu, zaś potencjalna jest tylko funkcją położenia. Równania Hamiltona dla tego układu mają postać
Przykład 1 – ruch w polu grawitacyjnym Rozważmy ruch ciała w polu grawitacyjnym Ziemi w kierunku pionowym (np. spadek swobodny lub rzut z pewną prędkością początkową). Energia potencjalna ciała ma postać (gdzie przyjęliśmy, iż oś jest skierowana pionowo w górę). Hamiltonian układu ma postać:
(1) Z pierwszego równania Hamiltona otrzymamy
Po scałkowaniu tego równania otrzymamy:
gdzie: – pęd początkowy ciała w chwili
(2) Z drugiego równania Hamiltona mamy
Całkując to równanie, otrzymamy:
gdzie: – położenie początkowe ciała w chwili Uwzględniając zależność pędu od czasu uzyskaną z 1-go równania, mamy:
i ostatecznie otrzymamy
Jest to znany z mechaniki Newtona wzór na położenie ciała w ruchu ze stałym przyspieszeniem z prędkością początkową i położeniem początkowym
Z powyższego przykładu widać, że w ramach mechaniki Hamiltona otrzymuje się jako rozwiązania zależności współrzędnych i pędów od czasu (przy czym są to w ogólności współrzędne i pędy uogólnione).