Równania Hamiltona W mechanice Hamiltona stan układu opisany jest odmiennie, tj. za pomocą położeń i pędów, które nazywane są zwyczajowo współrzędnymi kanonicznymi oraz przy czym – wektor położenia układu wyrażony przez współrzędne uogólnione, zaś – wektor pędu układu wyrażony przez pędy uogólnione układu, przy czym liczba współrzędnych jest równa liczbie stopni swobody układu (i jest równa lub mniejsza niż liczba współrzędnych kartezjańskich ). Zmianę stanu układu otrzymuje się poprzez obliczenie funkcji Hamiltona (hamiltonianu) i wstawienie go do równań Hamiltona
Powyższy zapis wektorowy należy rozpisać na poszczególne składowe: de facto mamy tu układ równań różniczkowych 1-go rzędu:
Hamiltonian
Hamiltonian układu zamkniętego jest sumą energii kinetycznej oraz potencjalnej. W ogólnym przypadku hamiltonian można obliczyć z lagrangianu za pomocą transformacji Legendre’a. Główna motywacja do używania hamiltonianów w miejsce lagrangianów pochodzi od symplektycznej natury układów hamiltonowskich.
Równania Hamiltona – układ 1-wymiarowy Rozważmy najprostszy układ, który składa się z pojedynczej cząstki o masie poruszającej się w jednym wymiarze w zadanym polu potencjału skalarnego.