Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki – czarnymi.
Złota liczba
Granicą ciągu
czyli ciągu ilorazów kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego, jest tzw. złota liczba lub złota proporcja. Złota proporcja jest definiowana jako dodatnie rozwiązanie równania lub równoważnego i oznaczana grecką literą φ. Mamy
Formalnie piszemy .
Dowód zbieżności ciągu ilorazów Udowodnimy, że granica ciągu istotnie istnieje, a ponadto jest równa .
Z definicji złotej proporcji oraz . Stąd . Ciąg Fibonacciego jest rosnący, więc . Zobaczmy, że . Łącząc powyższe fakty otrzymujemy, że
dla całkowitych. Zatem mamy
dla całkowitych. Nierówność implikuje, że . Stąd , a zatem .
Uogólniony ciąg Fibonacciego i jego ciąg ilorazów Ciąg , gdzie oraz są ustalonymi liczbami zespolonymi, jest czasem nazywany uogólnionym ciągiem Fibonacciego. Spełnia on wzór , który będzie potrzebny do obliczenia granicy ciągu . Przypomnijmy, że oraz . Zobaczmy teraz, że
o ile tylko .
Jeśli , to albo , albo oraz . W pierwszym przypadku dla wszystkich całkowitych, a wtedy wyrażenie nie ma sensu. W drugim przypadku otrzymujemy ciąg geometryczny zadany wzorem , co daje dla wszystkich całkowitych. Wtedy w szczególności .