Jego dorobek jest jednak znacznie bogatszy: Böttcher zapoczątkował badania nad globalną dynamiką odwzorowań holomorficznych, rozważając zbieżność iterat takich odwzorowań oraz związany z tym podział sfery Riemanna na „obszary zbieżności” i „części chaotyczne”. W jego pracach można znaleźć wiele częściowych rezultatów dotyczących zbieżności iterat i własności indukowanych podzbiorów sfery. 20 lat po Böttcherze, niezależnie od niego, problematykę tę rozwinęli Pierre Fatou i Gaston Julia przy użyciu pojęcia rodziny normalnej funkcji holomorficznych, tworząc podstawy dynamiki holomorficznej jako odrębnej dyscypliny matematycznej.
Böttcher również podał przykłady odwzorowań wymiernych o chaotycznym zachowaniu na całej sferze, które skonstruował za pomocą funkcji eliptycznych. Dziś znane są one pod nazwą „przykłady Lattésa”, ponieważ podobne przykłady skonstruował Samuel Lattés – 20 lat później i niezależnie od Böttchera.