Ustalony dzień urodzin Problem dni urodzin można zmodyfikować, przyjmując, że przed wykonaniem doświadczenia została wybrana pewna data. Dla ustalenia uwagi, niech będzie to data urodzin przeprowadzającego eksperyment. Należy wówczas znaleźć odpowiedź na pytanie:
Jak liczna musi być grupa osób, aby prawdopodobieństwo znalezienia w niej osoby urodzonej tego samego dnia co eksperymentator było równe co najmniej ?
Okazuje się, że potrzeba aż osób. Przy ogólniejszym założeniu, że w roku jest dni, odpowiedź na powyższe pytanie jest równa w przybliżeniu:
Związek z kryptografią
Paradoks dni urodzin ma znaczenie w kryptografii i jest podstawą działania tzw. ataku urodzinowego. Niech dana będzie funkcja skrótu która zwraca kod o bitach, czyli daje możliwych odpowiedzi (jest to moc jej przeciwdziedziny). Jej jakość można ocenić, badając jej jądro, a więc jej kolizje (kolizję tworzą każde dwie znane wiadomości i o których wiadomo, że ).
Każdy kwantyl rozkładu liczby prób potrzebnych do znalezienia kolizji wśród kodów, spełnia zależność , gdzie to rząd kwantylu. Średni czas łamania funkcji skrótu (tj.