Dystrybuanta jest wówczas funkcją lewostronnie ciągłą, a nie prawostronnie ciągłą. Wtedy wszystkie twierdzenia, które odwołują się do tej własności (np. twierdzenie poniżej), powinny być odpowiednio zmienione; dotyczy to także wykresów dystrybuanty dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa, które będą miały punkty nieciągłości odwrotnie określone (puste kółko zmienione w pełne, pełne zmienione w puste).
Twierdzenia Tw. Funkcja rzeczywista jednej zmiennej jest dystrybuantą pewnego rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy: jest niemalejąca, jest prawostronnie ciągła,
Powyższe twierdzenie określa warunek konieczny i warunek wystarczający na to, by funkcja była dystrybuantą pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.
Uwaga: Czasami to twierdzenie przyjmuje się jako definicję dystrybuanty (co może być prostsze, gdyż nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu prawdopodobieństwa, które pochodzi z teorii miary).
Tw. Istnienie dystrybuanty implikuje jednoznacznie istnienie pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. Dlatego całkowanie pewnej funkcji borelowskiej względem rozkładu jest równoważne całkowaniu funkcji względem dystrybuanty co zapisuje się za pomocą wyrażenia
Punkty skokowe Def. Punkt skokowy dystrybuanty to punkt dla którego dystrybuanta spełnia warunek:
tzn.