w szczególności przedział ma miarę , miara jest niezmiennicza na przesunięcia, tzn. dla każdego przesunięcia i dla każdego zbioru w przestrzeni rzeczywistej
W powszechnie akceptowanej teorii zbiorów z aksjomatem wyboru (bądź z jego słabszymi formami, wynikającymi z twierdzenia o ideale pierwszym) nie istnieje miara spełniająca warunki 1. 2. i 3. Miara Lebesgue'a spełnia warunki 2. i 3., a zamiast warunku 1. podaje kryterium, które dzieli wszystkie możliwe zbiory zbioru liczb rzeczywistych na mierzalne oraz na niemierzalne.
Konstrukcja miary Lebesgue’a Przedstawiona tu konstrukcja korzysta z pojęcia miary zewnętrznej i odnoszącego się do niej twierdzenia Carathéodory’ego.
Niech oznacza -wymiarowy przedział domknięty , gdzie .
Def. Przedział niepusty nazywamy ograniczonym, jeżeli długości wszystkich jego krawędzie są liczbami skończonymi nieujemnymi.
Def. d-wymiarową objętością przedziału ograniczonego nazywamy liczbę taką że
tj. objętość -wymiarowego przedziału jest iloczynem długości krawędzi .