dla dowolnych oraz jest
Jeśli 1 jest jedynką ciała to dla dowolnego
Uwaga:
Pierwsze cztery warunki czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.
Przestrzeń liniowa rzeczywista i zespolona Definicja 1. Przestrzenią liniową rzeczywistą nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb rzeczywistych,
Definicja 2. Przestrzenią liniową zespoloną nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb zespolonych
Informacje uzupełniające (1) Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem jest strukturą matematyczną w której: jest grupą abelową (aksjomaty 1–4), jest ciałem, wyposażoną w działanie (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5–8.
Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem ). W ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem;