ciałem liczb rzeczywistych lub liczb zespolonych ).
Ciało to nazywa się ciałem skalarów, elementy ciała nazywa się skalarami.
Definicja:
Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem nazywa się zbiór z określonymi w nim dwoma działaniami dwuargumentowymi:
(1) dodawanie wektorów: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru na zbiór które dowolnym wektorom przyporządkowuje pewien wektor nazywany sumą wektorów co symbolicznie zapisuje się w postaci
(2) mnożenie przez skalar: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru i ciała które dowolnemu wektorowi i dowolnej liczbie przyporządkowuje pewien wektor co symbolicznie zapisuje się w postaci
przy czym działania te spełniają poniższe aksjomaty: Dodawanie wektorów jest łączne, tj. dla dowolnych jest
Dodawanie wektorów jest przemienne, tj. dla dowolnych jest
Dodawanie wektorów ma element neutralny, tj. istnieje taki element nazywany wektorem zerowym, że dla dowolnego jest
Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne, tj. dla każdego istnieje element nazywany wektorem przeciwnym do taki że
Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów, tj. dla każdego oraz jest
Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:, tj. dla każdych oraz zachodzi
Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów, tj.