(4) tworzy przestrzeń liniową wraz z działaniami zdefiniowanymi punktowo.
(5) Z powodu warunku antysymetryczności na -wymiarowej przestrzeni liniowej jest przestrzenią liniową -wymiarową. Wynika to z postaci bazy przestrzeni W szczególności dla formy antysymetryczne są tożsamościowo równe 0.
Antysymetryzacja Dowolną formę można „przerobić” na formę antysymetryczną za pomocą odwzorowania nazywanego antysymetryzacją albo alternacją danego wzorem
Jeżeli jest formą antysymetryczną to
czyli odwzorowanie alternacji nie zmienia form antysymetrycznych.
Iloczyn zewnętrzny form wieloliniowych Ponieważ wynikiem iloczynu tensorowego form antysymetrycznych może nie być forma antysymetryczna, to wprowadza się „poprawiony” iloczyn tensorowy tak aby wynik mnożenia był formą antysymetryczną. Definiujemy go wzorem
Nazywamy go iloczynem zewnętrznym, albo alternującym. Iloczyn zewnętrzny jest łączny:
rozdzielny względem dodawania:
Ponadto zachodzi:
dla
Baza i przedstawienie Niech będzie -wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem Utwórzmy iloczyny
dla Iloczyny te stanowią bazę przestrzeni W szczególności wynika z tego, że każdą formę można jednoznacznie przedstawić w postaci
dla pewnych skalarów
Przykłady (1) Zdefiniujmy wzorem
jest -tensorem.