. Wówczas jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór: . Banach udowodnił, że zbiór jest zbiorem pierwszej kategorii w ; czyli: z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.
Gra Banacha-Mazura Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.
Opis samej gry
Niech będzie (pewnym) dowolnym podzbiorem Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych dalej, odpowiednio, przez i . Gracze wykonują nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi: .
Zaczynają w ten sposób: Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału Kiedy gracze dochodzą do tego kroku w grze, to mają oni skonstruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych Na -tym (z kolei) etapie gry, najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział