bez wyboru bazy).
Konstrukcja przestrzeni euklidesowej Rn
Przestrzeń euklidesowa jest strukturą bogatszą niż przestrzeń współrzędnych rzeczywistych. Mianowicie, przestrzeń euklidesową jest przestrzenią współrzędnych rzeczywistych wyposażoną dodatkowo w geometrię (geometrię euklidesową) poprzez zdefiniowanie wielkości geometrycznych takich jak: odległości (metryki) między punktami, kąty między prostymi czy wektorami, pola powierzchni, objętości.
Przestrzeń współrzędnych rzeczywistych wraz z wprowadzoną strukturą geometrii euklidesowej nazywana jest przestrzenią kartezjańską lub przestrzenią euklidesową i oznacza się ją symbolami lub .
Przestrzeń kartezjańska jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, gdyż umożliwia zapis twierdzeń geometrycznych poprzez zastąpienie metod geometrycznych działaniami na liczbach rzeczywistych z użyciem metod algebry liniowej czy analizy matematycznej. Taki sposób uprawiania geometrii nazywa się geometrią analityczną.
Definicja iloczynu skalarnego w Rn Aby wprowadzić pojęcia długości i kątów najpierw definiuje się standardowy (euklidesowy) iloczyn skalarny w za pomocą wzoru:
Definicja długości wektora w Rn Iloczyn skalarny jest liczbą rzeczywistą.