Jeżeli jest homomorfizmem to

a) przekształca element neutralny działania w na element neutralny działania w tzn.

b) przekształca element odwrotny działania w na element odwrotny działania w tzn.

gdzie oznacza element przeciwny do elementu w zaś oznacza element przeciwny do w

Przykłady Homomorfizm pierścieni (1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścień liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb,

b) pierścień macierzy 2×2 (tj. zbiór macierzy 2×2) z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioru na zbiór macierzy

(3) Funkcja jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

2) zachowuje mnożenie

3) element neutralny dodawania w przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

4) element neutralny mnożenia w przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

Z powyższych własności wynika, że funkcja jest homomorfizmem ze zbioru do zbioru

Ponadto:

5) funkcja jest injekcją (funkcją różnowartościową), gdyż każdym dwóm elementom ze zbioru odpowiadają dokładnie dwa różne elementy ze zbioru Z powyższych własności wynika, że funkcja jest monomorfizmem zbiorów oraz