Ciągłość z góry: jeżeli oraz to
Uwaga: Powyższa własność jest fałszywa bez założenia skończoności miary przynajmniej jednego zbioru Na przykład niech wtedy wszystkie zbiory są miary nieskończonej, ale iloczyn tych zbiorów jest zbiorem pustym, ma więc miarę równą zero.
Tw. 2 (o granicy miary w punkcie) Jeżeli mamy nieprzeliczalną rodzinę zbiorów , gdzie , spełniającą warunki: (1) (2) (3) to
Dowód: Własność ta wynika z własności o ciągłości z góry. Funkcja jest nieujemna i niemalejąca, zatem ma w początku przedziału taką samą granicę jak miara iloczynu zbiorów
Tw. 3 (o mierze zerowej zbiorów) Niech będzie przestrzenią mierzalną z miarą . Wtedy:
(a1) Dla dowolnych zbiorów
tj. suma przeliczalnej mnogości zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero.
(a2) Dla dowolnych zbiorów
tj. podzbiór mierzalny zbioru miary zero jest zbiorem miary zero.
(a3) Dla dowolnych zbiorów
tj. dodanie lub odjęcie zbioru miary zero od zbioru mierzalnego nie zmienia wartości jego miary.
Przykłady miar Miara zerowa. Niech będzie σ-ciałem podzbiorów przestrzeni , dla każdego . Funkcja jest miarą.
Miara Diraca. Niech będzie σ-ciałem podzbiorów przestrzeni , Niech
Funkcja jest miarą.