Heisenberg, po współpracy z Kramerem, zaczął rozumieć, że przejścia prawdopodobieństw nie są całkiem klasycznymi wielkościami, ponieważ jedynymi częstotliwościami, obserwowanymi w szeregach Fouriera, powinny być te obserwowane w przeskokach kwantowych, nie te fikcyjne, pochodzące z analizy fourierowskiej ostrych, klasycznych orbit. Zastąpił klasyczne szeregi Fouriera współczynnikami macierzy, mętnymi kwantowymi analogiami szeregów Fouriera. Z klasycznego punktu widzenia, współczynniki Fouriera odpowiadają intensywności emitowanego promieniowania, więc w mechanice kwantowej to wielkość elementów macierzy operatora położenia odpowiada jasności linii emisyjnych widma.
Wielkościami w sformułowaniu Heisenberga były klasyczne położenie i pęd, lecz nie były one już jednoznacznie zdefiniowane. Każda wielkość była reprezentowana przez zbiór współczynników Fouriera z dwoma indeksami, odpowiadającymi stanowi początkowemu oraz końcowemu. Kiedy Born przeczytał pracę Heisenberga, rozpoznał, że zawarte w niej formuły można przetranskrybować i rozszerzyć na systematyczny język macierzy, którego nauczył się podczas studiów u Jacoba Rosanesa na Uniwersytecie Wrocławskim. Z pomocą swojego asystenta i studenta Pascuala Jordana, natychmiast rozpoczął transkrypcję oraz rozszerzanie, a swoje wyniki przedłożyli do publikacji.