Jeśli jest wielomianem nierozkładalnym stopnia i ma pierwiastek w pewnym rozszerzeniu ciała to jego pierwiastki tworzą zbiór złożony z elementów Każde skończone ciało rzędu wyrażającego się potęgą liczby pierwszej jest rozszerzeniem Galois nad W szczególności dotyczy to ciała a pozostałe pierwiastki można otrzymać z działając na ten element grupą Ponieważ grupa ta jest generowana przez endomorfizm Frobeniusa, to pierwiastki należą do zbioru Zbiór ten jest skończony, gdyż co wynika stąd, iż jest rzędu Wielomian jest rozdzielczy, ponieważ jego pierwiastki należą do rozszerzenia Galois ciała a skoro ma on stopień to parami różne elementy tworzą zbiór jego pierwiastków..
Powyższe twierdzenia można uogólnić, zastępując ciało rzędu wyrażającego się pewną liczbą pierwszą ogólnym ciałem rzędu wykorzystując obserwację, iż dla każdego zachodzi zatem rolę endomorfizmu Frobeniusa dla skończonych rozszerzeń przejmuje odwzorowanie dla skończonych rozszerzeń Twierdzenie: Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje unormowany wielomian nierozkładalny stopnia należący do Twierdzenie: Między a istnieje jedno i tylko jedno ciało rzędu dla każdego jest ono postaci Twierdzenie: Dla dowolnej liczby naturalnej ciało jest rozszerzeniem Galois, a jego grupa Galois jest cykliczna, przy czym jej generatorem jest przekształcenie Twierdzenie: Jeśli jest